中位數是指將資料集中的所有數字依從小到大的順序排列後，位於中間位置的值。如果資料集包含奇數個數值，則中位數是中間的單一數值；如果資料集包含偶數個數值，則中位數是中間兩個數值的平均值。美國國立衛生研究院發表的研究將中位數定義為50%的觀測值等於或小於該值，因此它是一種位置度量，而非計算出的平均值。中位數最適用於存在異常值或分佈偏斜的數據，但在標準差等代數計算中，它的效用不如平均值。

重點：數學中的中位數是什麼？

• 中位數是有序資料集的中間值，根據美國國立衛生研究院發布的統計研究，它標誌著第 50 個百分位數。
• 對於奇數個數值，中位數是一個特定的數值。對於偶數個數值，中位數是中間兩個數值的平均值。
• 中位數比平均值更能抵抗異常值的影響，因此成為報告家庭收入等數據的標準選擇。
• 安大略省 12 年級資料管理課程 (MDM4U) 將中位數作為集中趨勢的三大核心測量之一，另外兩個是平均數和眾數。
• 中位數不能像平均數那樣用於進一步的代數計算，例如方差，這是中位數的主要限制之一。

數學中的中位數：它的意義以及如何找到它

在數學中，中位數是指將一組資料依從小到大的順序排列後，位於中間位置的值。如果資料集中的資料個數為奇數，則中位數就是中間的那個數。如果資料集中的資料個數為偶數，則中位數是中間兩個數的平均值。

這個定義解釋了為什麼中位數與平均數（或平均數）的行為不同。中位數只關心它在有序列表中的位置，而不關心極端值的大小，這正是它比平均值更能抵抗資料失真的原因。

這對於現實世界的數據至關重要。美國國立衛生研究院發表的關於集中趨勢測量的研究表明，分佈中 50% 的觀測值落在中位數或以下，這使得它成為統計學家所說的位置平均值，而不是計算平均值。 高中數學課程指南 這表明該統計學分支在安大略省更廣泛的數學體系中處於什麼位置。

如何一步一步找出中位數

無論資料集中有多少個數字，求中位數始終遵循相同的兩步驟流程。

第一步：將數字依序排列。 將每個值按從小到大的順序排列。跳過這一步驟是造成中位數誤差最常見的原因，因為只有在清單排序後，位置才有意義。

步驟二：找到中間位置。

• 如果資料集中的數值個數為奇數，則中位數是位於正中間的那個數值。
• 如果資料集中的數值個數為偶數，則中位數是中間兩個數的平均值。

用特殊資料集舉例說明： 求7、2、9、4、5的中位數。

1. 依序排列：2、4、5、7、9。
2. 數一下這些值：總共有 5 個，是奇數。
3. 中間位置是第 3 個值：5。
4. 中位數是5。

使用偶數資料集的範例： 求 8、3、10、6 的中位數。

1. 依序排列：3、6、8、10。
2. 數一下這些值：總共有 4 個，是偶數。
3. 中間兩個值分別是 6 和 8。
4. 取平均值：（6 + 8）/ 2 = 7。
5. 中位數是7。

中位數、平均數和眾數：它們之間有什麼區別？

這三種集中趨勢的測量都描述了資料集的“中心”，但它們回答的問題略有不同，並且在異常值附近表現也不同。

一個能清晰展現差異的例子： 考慮以下薪資：40,000 美元、42,000 美元、45,000 美元、48,000 美元和 500,000 美元。

• 平均工資為 135,000 美元，但這並不代表任何員工的實際工資。
• 中位數為 45,000 美元，這更能準確地反映普通員工的薪資水準。

這正是政府機構和研究人員通常報告家庭收入中位數而非平均收入的原因。少數高收入者會拉高平均收入，使其與一般家庭的實際收入嚴重脫節。

為什麼中位數在真實數據中很重要，而不僅僅是在教科書中

中位數經常出現在數學課堂之外，在學生們並不總是能將之與統計學單元聯繫起來的地方。

中位數的常見實際應用：

• 城市房價中位數，因為少數價值數百萬美元的房產會扭曲平均值。
• 班級考試成績的中位數，用來描述班級的典型表現，避免一個非常高或非常低的分數扭曲整體情況。
• 客戶服務資料中的中位數回應時間，其中少數極長的異常值通話會扭曲平均值。
• 人口年齡中位數，是國家人口普查機構使用的標準人口統計。

需要了解的權衡取捨： 與平均數相比，中位數在後續計算中更難使用。你不能像使用平均數那樣直接用中位數計算變異數或標準差，這限制了它在更高級統計中的應用。

在頻數表或分組資料中尋找中位數

真實資料集通常以頻率表而非簡單清單的形式呈現，尤其是在安大略省。 12年級資料管理課程（MDM4U），我們的 MHF4U 與 MDM4U 比較指南 與「進階函數」課程相比，從頻數表中尋找中位數需要額外一步。

頻率表製作步驟：

1. 將所有頻數相加，求資料點的總數。
2. 對於奇數總數，使用 (n + 1) / 2 計算中間位置；對於偶數總數，使用中間兩個位置。
3. 將頻率值累積起來，直到達到包含中位數的位置。
4. 讀取相應的數值。

範例： 一個班級20名學生在一次測驗中得分如下：5名學生得了60分，8名學生得了70分，4名學生得了80分，3名學生得了90分。

1. 學生總數：20（偶數）。
2. 中間位置：第 10 和 11 個值。
3. 累積計數：5（最多 60），13（最多 70），17（最多 80），20（最多 90）。
4. 第 10 個值和第 11 個值都屬於「70」組（因為累計計數在那裡達到了 13）。
5. 中位數是70。

學生使用中位數時常犯的錯誤

• 忘記先對資料集進行排序，導致「中間」位置沒有意義。
• 對偶數個數字的資料集使用了錯誤的公式，忘記對中間兩個值求平均值。
• 當題目明確要求的是中間值時，卻把中位數和平均數混淆了。
• 錯誤計算數值總數，尤其是在包含重複數字的較長資料集中。
• 將簡單的列表方法應用於分組表或頻率表數據，而這些數據需要使用累積頻率方法。

這些錯誤大多可以追溯到最初養成的數字排序習慣。 9年級數學因此，快速複習一下通常就能消除後面成績中反覆出現的中位數錯誤。

何時使用中位數而不是平均數

決策框架：

• 如果資料集中存在極端異常值（非常高或非常低的值），則使用中位數。
• 如果資料集大致對稱且沒有明顯的異常值，則平均值和中位數會很接近，兩者都適用。
• 如果您需要將結果用於進一步計算，例如標準差，請使用平均值，因為中位數不能直接支援這些公式。
• 如果你描述的是「典型」經歷，例如典型收入或典型房價，那麼中位數通常會給出更準確的描述。

即將進入數據密集型大學專業的學生通常會在第一年的統計學課程中重新考慮這個問題，這也是USCA學院將其納入課程體系的原因之一。 大學預科課程 而不是僅僅把它當作十二年級的一次性學習內容。

結語

中位數能反映資料集的真實中間值，與平均值不同，它不會受到一兩個極端值的影響。將資料排序，找出中間位置，然後記住偶數規則，取中間兩個值的平均值。這項技能可以直接應用到安大略省12年級的資料管理課程以及你高中畢業後遇到的任何統計學知識。

如果您的孩子正在學習 MDM4U 或更早的統計學課程，並且需要有關集中趨勢測量的結構化、一對一輔導，USCA Academy 可以提供協助。 米西索加的學分課程 將這個主題納入12年級的課程體系中。 申請入學 以便匹配到合適的課程級別。

常見問題