本指南提供100道編號數學題目及答案，涵蓋9至12年級，分為34個完整詳盡​​的例題（以方框突出顯示）和66道練習題及答案。每個主題都從一個簡單的技巧入手，透過3至4個例題展示其應用，然後提供更多練習題，讓你運用同樣的技巧。這些主題（代數、斜率、因式分解、三角函數、指數、對數、導數和統計）涵蓋了大多數國家高中數學的核心技能，無論你的課程名稱是9-12年級、9-12班還是9-12年級。最佳學習方法是：在查看答案之前，先仔細閱讀並嘗試解答每個問題。但要注意的是，光是閱讀例題並不能掌握相關技能；你仍需要自己嘗試解答練習題。

數學問答要點

• 總共 100 題：34 道完整的逐步範例，以突出顯示的方框顯示，另有 66 道練習題及答案，全部從 1 到 100 連續編號。
• 每個主題部分首先都會教授一個令人印象深刻的技巧，例如識別 3-4-5 三角形模式，從而完全跳過勾股定理的計算。
• 這些主題（線性方程式、因式分解、三角學、函數、對數、導數和統計）是加拿大、美國、英國、印度和澳洲 9-12 年級數學課程的標準內容，只是課程名稱不同。
• 史丹佛大學研究員喬·博勒對數學思維模式的研究表明，當學生看到速算技巧背後的原理，而不僅僅是速算技巧本身時，他們的進步速度最快。
• 只有將技巧運用到從未見過的問題上，技巧才能真正奏效。因此，每個章節的結尾都附有未解答的練習題和答案，供讀者檢查自己的答案。

100道數學題目及答案，一步一步講解，附帶技巧

如果你覺得自己討厭數學，很可能是因為沒人教過你快速掌握數學的捷徑。一份羅列100道只有一個答案的題目的清單並不能教你任何東西。真正有效的方法是：找出一個清晰的解題技巧，觀看它一步步解決實際問題，然後在思緒還清晰的時候自己嘗試運用。

本指南正是以此為框架。它涵蓋了高中數學的八個核心主題，每個主題介紹一種解題技巧，每個技巧都配有3到4個完整的例題（以高亮方框形式呈現），以及更多附帶答案的練習題，方便你進行自我測試。所有內容，包括例題和練習題，都從1到100連續編號，因此沒有任何隱藏在答案後面的內容。

這些主題並不限於某個國家的課程代碼。代數、線性方程式、因式分解、三角函數、函數與指數、對數、導數和統計學幾乎構成了世界各地9至12年級數學的核心內容，無論你的學校稱之為10年級數學、10年級數學或10年級數學。名稱會改變，但技能不變。

如何實際使用本指南

直接閱讀已解答的例題而不自己嘗試，雖然感覺像是在進步，但實際上幾乎無法提升任何技能。先遮住答案，用技巧嘗試解答問題，然後再檢查你的答案。

每個部分的操作流程都很簡單：

1. 仔細閱讀技巧說明，確保你理解它的原理，而不僅僅是它上面寫的內容。
2. 遮住該部分中問題 1 的高亮框，先嘗試自己解決。
3. 請對照方框核對您的步驟，而不僅僅是最終的數字。
4. 請先做編號練習題，並在查看答案前先嘗試全部解答。
5. 如果答錯了 2 道或更多題，請重新閱讀技巧說明，並再做一次標出的範例題，然後再嘗試解答新題。

主題 1：用「移動與翻轉」技巧解方程式（問題 1-12）

大多數學生學習解方程式是透過死記硬背每種題型的解題步驟。其實還有更快的思考方法。

訣竅： 當一個項越過等號時，它的運算方向就會改變。原本加法運算的項變成了減法運算，原本乘法運算的項變成了除法運算。你可以把等號想像成一面鏡子，它會翻轉所有經過它的項的符號。

問題 1：解方程式：2x + 5 = 17 求 x 的值

步驟 1 +5 與 x 在同一側。將其移到等號另一側，它變成 -5。2x = 17 – 5

步驟 2 化簡右側。 2x = 12

步驟 3 2 是乘以 x 的數。把它移到另一邊，它就變成除數了。 x = 12 / 2

答：x = 6

問題 2：解方程組：3x – 7 = 2x + 5，求 x 的值。

步驟 1 將右邊的 2x 移到左邊，它就變成 -2x 了。 3x – 2x – 7 = 5

步驟 2 化簡左側。 x – 7 = 5

步驟 3 將 -7 向右移動。它變成 +7。 x = 5 + 7

答：x = 12

問題 3：解方程式：x/4 + 3 = 9

步驟 1 將 +3 向右移動。它會變成 -3。 x/4 = 9 – 3

步驟 2 化簡。 x/4 = 6

步驟 3 4 是 x 的除數。把它移到另一邊，它就變成乘數了。 x = 6 × 4

答：x = 24

問題 4：解方程式：5(x – 2) = 25 求 x 的值

步驟 1 先展開括號，再移動任何數字。 5x – 10 = 25

步驟 2 將 -10 向右移動。它變成 +10。5x = 25 + 10

步驟 3 化簡後，將 5 移到等式兩邊作為除數。 5x = 35 x = 35 / 5

答：x = 7

現在自己試試看吧

#	問題	回答
5	解方程式：4x + 9 = 21	X = 3
6	解方程式求 x 的值：7x – 3 = 25	X = 4
7	解方程式求 x 的值：x/5 + 2 = 6	X = 20
8	解方程式求 x 的值：3(x + 4) = 27	X = 5
9	解方程式：2x + 3 = 3x – 4	X = 7
10	解方程式求 x 的值：6x – 11 = 13	X = 4
11	解方程式求 x 的值：x/3 – 2 = 5	X = 21
12	解方程式求 x 的值：9 – x = 4	X = 5

主題 2：斜率和線性方程式－「上升量/運行量，起始點和移動點」技巧（問題 13-24）

學生常常會把 y = mx + b 公式中各數字的作用混淆。這個技巧可以消除猜測的成分。

訣竅： 在 y = mx + b 中，把「b」理解為… 開始 在圖上（y 軸截距），用「m」表示你… 移動 每向右邁出一步（即坡度）。要從兩點計算坡度，需要計算垂直變化量（上升量）與水平變化量（水平移動量）之比。

問題 13：求點 (2, 3) 和 (6, 11) 之間的斜率。

步驟 1 求上升量（y 的變化量）：11 – 3 = 8

步驟 2 求運轉時間（x 的變化量）：6 – 2 = 4

步驟 3 漲幅除以運行：8 / 4

答：斜率 = 2

問題 14：寫出一條斜率為 3，起點為 (0, 5) 的直線的方程式。

步驟 1 「開始」會告訴你 b 的值，即 y 軸截距：b = 5

步驟 2 「移動」會告訴你 m，即斜率：m = 3

步驟 3 將兩者代入 y = mx + b。

答：y = 3x + 5

問題15：求直線2x + 4y = 8的斜率。

步驟 1 重新排列成 y = mx + b 的形式。將 2x 向右移動（它會變成 -2x）。 4y = -2x + 8

步驟 2 將每一項除以 4。 y = -0.5x + 2

答：斜率 = -0.5

問題 16：點 (1, 2)、(3, 6) 和 (5, 10) 是否位於同一條直線上？

步驟 1 求前兩點之間的斜率：(6 – 2) / (3 – 1) = 4 / 2 = 2

步驟 2 求後兩點之間的斜率：(10 – 6) / (5 – 3) = 4 / 2 = 2

步驟 3 兩條斜率相同，因此這些點以相同的速度移動。

答：是的，這三個點都在同一條直線上。

現在自己試試看吧

#	問題	回答
17	求點 (0, 0) 和 (4, 8) 之間的斜率。	斜率 = 2
18	寫出斜率為 -2，起點為 (0, 7) 的方程式。	y = -2x + 7
19	求 y = 4x – 9 的斜率	斜率 = 4
20	求 y = -3x + 10 的 y 軸截距	y軸截距 = 10
21	求直線 (-2, 5) 和 (2, 13) 之間的斜率。	斜率 = 2
22	點 (2, 5) 是否位於直線 y = 2x + 1 上？	是的，因為 2(2)+1 = 5
23	求斜率為 5 的直線過點 (1, 9) 的斜率 b 的值。	乙 = 4
24	求水平線 y = 7 的斜率。	斜率 = 0

主題 3：用「乘加法」技巧分解二次方程式（問題 25-36）

因式分解一開始感覺就像在碰運氣，直到你找到一個系統。這個系統幾乎適用於你遇到的所有簡單二次方程式。

訣竅： 對於 x² + bx + c，求兩個數，它們的乘積為 c，和為 b。這兩個數直接填入括號中。

問題 25：因式分解 x² + 7x + 12

步驟 1 列出 12 的因數對：(1,12), (2,6), (3,4)

步驟 2 求和為 7 的一對數字：3 和 4

步驟 3 用這兩個數字寫出括號裡的內容。

答：(x + 3)(x + 4)

第 26 題：解方程式 x² – 5x + 6 = 0

步驟 1 求兩個乘積為 6 且和為 -5 的數：-2 和 -3

步驟 2 寫出因式分解形式。 (x – 2)(x – 3) = 0

步驟 3 令每個括號內的值等於零，然後求解。

答：x = 2 或 x = 3

第 27 題：分解 x² – 9

步驟 1 認出這是一個「平方差」模式：a² – b² = (a – b)(a + b)

步驟 2 這裡，a = x，b = 3，因為 3² = 9。

答：(x – 3)(x + 3)

第 28 題：用二次方程式公式解方程式 x² + 2x – 8 = 0。

步驟 1 設 a = 1，b = 2，c = -8，然後使用公式 x = (-b ± √(b² – 4ac)) / 2a

步驟 2 計算判別式：b² – 4ac = 4 – 4(1)(-8) = 4 + 32 = 36

步驟 3 36 的平方根是 6，然後代入公式。 x = (-2 ± 6) / 2

答：x = 2 或 x = -4

現在自己試試看吧

#	問題	回答
29	因式分解 x² + 5x + 6	(x + 2)(x + 3)
30	因式分解 x² – x – 6	（x - 3）（x + 2）
31	解方程式 x² – 16 = 0	x = 4 或 x = -4
32	因式分解 x² + 9x + 20	(x + 4)(x + 5)
33	解方程式 x² + 3x – 10 = 0	x = 2 或 x = -5
34	因式分解 x² – 4x + 4	(x – 2)²
35	解方程式 2x² – 8 = 0	x = 2 或 x = -2
36	因式分解 x² – 25	（x - 5）（x + 5）

第四部分：直角三角函數及其「找出三元組」技巧（第37-48題）

三角學名聲不好，但只要你知道要找什麼，它其實就是模式辨識。

訣竅： 某些數字組合，稱為勾股數，總是構成一個直角三角形：3-4-5、5-12-13、8-15-17 以及它們的倍數（例如 6-8-10）。如果你發現了這樣的組合，就可以完全跳過勾股定理的計算。

問題 37：一個直角三角形的兩條直角邊分別為 6 和 8。求斜邊。

步驟 1 請注意，6 和 8 分別是 3 和 4 的兩倍，是 3-4-5 三元組的倍數。

步驟 2 斜邊必須是 5 的兩倍。

答：斜邊 = 10

問題 38：不用計算機求 sin(30°) 的值

步驟 1 回想特殊的 30-60-90 三角形，它的邊長比總是 1 : √3 : 2。

步驟 2 正弦值等於對邊除以斜邊。對於 30° 角，對邊為 1，斜邊為 2。

答：sin(30°) = 1/2

第39題：一架梯子沿牆向上延伸12米，梯子底部距離牆面5公尺。求梯子的長度。

步驟 1 認識到 5 和 12 是勾股數：5-12-13。

步驟 2 缺少的邊（梯子，即斜邊）是 13。

答：梯子長度 = 13 米

第 40 題：若 tan(A) = 1，求角 A 的值。

步驟 1 回顧特殊角度：tan(0°) = 0，tan(30°) ≈ 0.577，tan(45°) = 1，tan(60°) ≈ 1.73。

步驟 2 將 tan(A) = 1 與滿足此條件的特殊角度進行配對。

答：A = 45°

現在自己試試看吧

#	問題	回答
41	求直角三角形的斜邊，已知兩條直角邊分別為 9 和 12。	15
42	求 cos(60°)	0.5
43	求直角三角形的斜邊，已知兩條直角邊分別為 7 和 24。	25
44	求 sin(90°)	1
45	求 tan(30°)	≈0.577
46	求直角三角形的斜邊，已知兩條直角邊分別為 8 和 15。	17
47	求 cos(0°)	1
48	求角 A，已知 sin(A) = 0.5	A = 30°

第五章：指數定律－「乘加除減」技巧（第49-60題）

指數運算規則看起來像是一長串需要記憶的內容，但一旦你了解其中的規律，它們就會簡化為一個概念。

訣竅： 當底數相同時，乘法意味著將指數相加，除法意味著將指數相減，冪的冪意味著將它們相乘。

第 49 題：化簡 (2³)(2⁴)

步驟 1 底數相同（皆為 2），運算是乘法，所以指數相加。 2^(3+4) = 2^7

答：128

第 50 題：化簡 x⁵ / x²

步驟 1 底數相同，運算是除法，所以指數相減。 x^(5-2)

答案：x³

第 51 題：化簡 (x³)²

步驟 1 這是一個冪的冪，所以指數相乘。 x^(3×2)

答案：x⁶

問題 52：解方程式：3^x = 81

步驟 1 將 81 改寫成 3 的冪次方：81 = 3 × 3 × 3 × 3 = 3⁴

步驟 2 由於底數相同，所以指數也一定相等。

答：x = 4

現在自己試試看吧

#	問題	回答
53	化簡 (5²)(5³)	5⁵ = 3125
54	化簡 x⁷ / x³	x⁴
55	化簡 (2²)³	64
56	解方程式求 x 的值：2^x = 32	X = 5
57	化簡 (3x²y)(4xy³)	12x³y⁴
58	解方程式求 x 的值：4^x = 64	X = 3
59	化簡 x⁶ / x²	x⁴
60	化簡 (x⁴)²	x⁸

第六章：對數－「對數只是在問問題」的技巧（問題 61-72）

對數之所以讓學生感到困惑，主要是因為它的符號看起來很複雜。但其實它背後的概念很簡單。

訣竅： log_b(x) 本質上是在問：「b 的多少次方才能得到 x？」 在進行任何其他操作之前，請將所有對數問題都改寫成這個簡單的英文問題。

問題 61：計算 log₂(8) 的值

步驟 1 問：2 的幾次方等於 8？

步驟 2 2³ = 8，所以冪是 3。

答：3

問題 62：解方程式 log(x) = 2（如果未寫出底數，則預設底數為 10）

步驟 1 問：10 的多少次方等於 x？答案是 2 次方。

步驟 2 所以 x = 10²

答：x = 100

問題 63：解方程式 log₃(x) = 2

步驟 1 問：3 的多少次方等於 x？答案是 2 次方。

步驟 2 所以 x = 3² = 9

答：x = 9

問題 64：化簡 log(100) + log(10)

步驟 1 log(100) 的問題是：10 的多少次方等於 100？答案：2。

步驟 2 log(10) 的問題是：10 的多少次方等於 10？答案：1。

步驟 3 將兩個答案相加。

答：3

現在自己試試看吧

#	問題	回答
65	計算 log₅(25)	2
66	計算 log₂(16)	4
67	計算 log(1000)	3
68	計算 log₄(64)	3
69	計算 log₃(27)	3
70	計算 log(10000)	4
71	計算 log₂(1)	0
72	計算 log₇(49)	2

第七章：導數及其「先降低一個，再減一個」的技巧（問題 73-84）

微積分看起來很嚇人，但你學到的第一條規則幾乎就能解決所有問題。

訣竅： 對於 f(x) = xⁿ，將指數移到前面作為乘數，然後指數減 1。任何單獨的數字（常數）都會直接消失，因為平坦的數字沒有斜率。

問題 73：求 f(x) = x³ 的導數

步驟 1 將 3 移到前面，然後從指數中減去 1。3x^(3-1)

答：f'(x) = 3x²

問題 74：求函數 f(x) = 5x² + 3x 的導數

步驟 1 分別對每一項應用這個技巧。對於 5x²，將 2 移下來，然後乘以 5：10x^(2-1)

步驟 2 對於 3x（實際上是 3x¹），將 1 移下來：3x^(1-1) = 3x⁰ = 3

答：f'(x) = 10x + 3

第 75 題：求 f(x) = x⁴ – 2x² + 7 的導數

步驟 1 將此技巧應用於 x⁴：4x³

步驟 2 將此技巧應用於 -2x²：-4x

步驟 3 常數 7 完全消失了，因為常數沒有斜率。

答：f'(x) = 4x³ – 4x

問題 76：求 f(x) = 1/x 的導數

步驟 1 將 1/x 改寫為 x⁻¹，這樣這個技巧仍然適用。

步驟 2 將 -1 移下來，並從指數中減去 1：-1x^(-1-1) = -1x⁻²

答：f'(x) = -1/x²

現在自己試試看吧

#	問題	回答
77	求函數 f(x) = x⁵ 的導數	f'(x) = 5x⁴
78	求函數 f(x) = 3x³ – 2x 的導數	f'(x) = 9x² – 2
79	求 f(x) = 7 的導數	f'(x) = 0
80	求函數 f(x) = x² + 4x + 9 的導數	f'(x) = 2x + 4
81	求函數 f(x) = 2x⁴ 的導數	f'(x) = 8x³
82	求函數 f(x) = x⁻² 的導數	f'(x) = -2x⁻³
83	求函數 f(x) = 6x 的導數	f'(x) = 6
84	求函數 f(x) = x³ + x² + x + 1 的導數	f'(x) = 3x² + 2x + 1

第八章：平均數、中位數、眾數和機率－運用「分享、排隊、最受歡迎」技巧（問題 85-96）

統計學問題看起來與代數問題不同，但每個指標都有一個用簡單易懂的語言表達的目的。

訣竅： 平均值 平等分享 在所有人中。中位數是指 所有人排好隊 找出中間值。眾數是指 最受歡迎 價值。機率總是意味著 有利結果除以總結果.

第85題：求4、8、6、10、12的平均值

步驟 1 將所有數值相加：4 + 8 + 6 + 10 + 12 = 40

步驟 2 除以數值的個數：40 / 5

答：平均值 = 8

第86題：求3、7、9、12、15的中位數。

步驟 1 這些值已經按順序排列好了，而且有 5 個值（奇數）。

步驟 2 中間值，也就是第三個值，是中位數。

答案：中位數 = 9

問題87： 求 8、3、10、6 的中位數。

步驟 1 依序排列：3、6、8、10。共有 4 個值（偶數）。

步驟 2 取中間兩個值的平均值：(6 + 8) / 2

答案：中位數 = 7

問題88： 求擲一枚標準六面骰擲出 4 的機率。

步驟 1 計算有利結果：只有一方出現 4。

步驟 2 計算出所有結果：總共有 6 個面。

答：機率 = 1/6

現在自己試試看吧

#	問題	回答
89	求 2、4、6、8、10 的平均值	6
90	求1、2、3、4、5、6這六個數字的中位數。	3.5
91	求 2、3、3、5、7、3、8 的眾數。	3
92	求一枚均勻硬幣拋擲出正面的機率。	1/2
93	求 10、20、30 的平均值	20
94	求 5、9、2、8、1 的中位數。	5
95	求一副標準撲克牌抽到一張A的機率。	1/13
96	求100、200、300、400的平均值。	250

附加問題：混合技巧（第 97-100 題）

真正的考試很少每題只涉及一個主題。最後這幾題同時運用了兩種技巧，而這正是區分高分和普通分的關鍵。

第 97 題：解方程式 2(x + 3)² = 32，求 x 的值。

步驟 1 使用「移動並翻轉」功能將 2 向右移動。這樣就變成除法運算了。 (x + 3)² = 16

步驟 2 兩邊同時開平方根。記住正根和負根。 x + 3 = ±4

步驟 3 分別解出以下兩種情況：x + 3 = 4 解得 x = 1，x + 3 = -4 解得 x = -7。

答：x = 1 或 x = -7

第98題：因式分解並解方程式 x² – 2x – 15 = 0

步驟 1 求兩個乘積為-15且和為-2的數：-5和3。

步驟 2 寫出因式分解形式並解出每個括號內的方程式。 (x – 5)(x + 3) = 0

答：x = 5 或 x = -3

現在自己試試看吧

#	問題	回答
99	求方程式 3x + y = 9 的斜率和 y 軸截距。	斜率 = -3，y 軸截距 = 9
100	求用兩顆骰子擲出點數總和為 7 的機率。	1/6（36 例中有 6 例結果為有利）

為什麼技巧比死記硬背步驟更有效

技巧之所以有效，是因為它讓你記住一個核心概念，而不是十個互不相干的步驟。史丹佛大學教育研究員喬·博勒（Jo Boaler）對數學思維模式的研究發現，理解速算技巧背後原理的學生，比那些死記硬背步驟卻不明白其原理的學生，能更長時間地記住它。

應避免的錯誤： 如果你只是死記硬背“乘法運算，指數相加”，卻不知道這是通過重複乘法實現的，那麼一旦題目形式稍有不同，你就會立刻忘記。

即使知道訣竅，學生仍然會犯一些常見的錯誤。

• 解涉及平方的方程式時忘記了負根，例如 x + 3 = ±4 而不是 +4。
• 將技巧應用於原本不適用的問題，就像將平方差公式應用於不適用的三項式一樣。
• 只記住技巧的“是什麼”，而忽略了技巧的“為什麼”，這導致在遇到不熟悉的問題時出錯。
• 當題目明確要求的是「中間值」時，卻把平均數和中位數混淆了。
• 忘記了求導時常數會消失，不小心把它留在了答案中。

結語

克服對數學的厭惡最快的方法就是不要把每題都當成全新的題目。一百道看起來各異的題目背後，其實只有八個核心概念。一旦掌握了某個技巧，整個題型就會變得更容易。如果你做錯了兩道以上的練習題，就回到這裡，重新做一遍標示的例子，然後再繼續學習。

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