中位数是指将数据集中的所有数字按从小到大的顺序排列后，位于中间位置的值。如果数据集包含奇数个数值，则中位数是中间的单个数值；如果数据集包含偶数个数值，则中位数是中间两个数值的平均值。美国国立卫生研究院发表的研究将中位数定义为50%的观测值等于或小于该值，因此它是一种位置度量，而非计算出的平均值。中位数最适用于存在异常值或分布偏斜的数据，但在标准差等代数计算中，它的效用不如平均值。
要点：数学中的中位数是什么？
- 中位数是有序数据集的中间值，根据美国国立卫生研究院发布的统计研究，它标志着第 50 个百分位数。
- 对于奇数个数值，中位数是一个特定的数值。对于偶数个数值，中位数是中间两个数值的平均值。
- 中位数比平均值更能抵抗异常值的影响，因此成为报告家庭收入等数据的标准选择。
- 安大略省 12 年级数据管理课程 (MDM4U) 将中位数作为集中趋势的三大核心度量之一，另外两个是平均数和众数。
- 中位数不能像均值那样用于进一步的代数计算，例如方差，这是中位数的主要局限性之一。
数学中的中位数：它的含义以及如何找到它
在数学中，中位数是指将一组数据按从小到大的顺序排列后，位于中间位置的值。如果数据集中的数据个数为奇数，则中位数就是中间的那个数。如果数据集中的数据个数为偶数，则中位数是中间两个数的平均值。
这个定义解释了为什么中位数与均值（或平均数）的行为不同。中位数只关心它在有序列表中的位置，而不关心极端值的大小，这正是它比均值更能抵抗数据失真的原因。
这对于现实世界的数据至关重要。美国国立卫生研究院发表的关于集中趋势测量的研究表明，分布中 50% 的观测值落在中位数或以下，这使得它成为统计学家所说的位置平均值，而不是计算平均值。 高中数学课程指南 这表明该统计学分支在安大略省更广泛的数学体系中处于什么位置。
如何一步一步找到中位数
无论数据集中有多少个数字，求中位数始终遵循相同的两步过程。
第一步：将数字按顺序排列。 将每个值按从小到大的顺序排列。跳过这一步是造成中位数误差的最常见原因，因为只有在列表排序后，位置才有意义。
步骤二：找到中间位置。
- 如果数据集中的数值个数为奇数，则中位数是位于正中间的那个数值。
- 如果数据集中的数值个数为偶数，则中位数是中间两个数的平均值。
用特殊数据集举例说明： 求7、2、9、4、5的中位数。
- 按顺序排列：2、4、5、7、9。
- 数一下这些值：总共有 5 个，是奇数。
- 中间位置是第 3 个值：5。
- 中位数是5。
使用偶数数据集的示例： 求 8、3、10、6 的中位数。
- 按顺序排列：3、6、8、10。
- 数一下数值：总共有 4 个，是偶数。
- 中间两个值分别是 6 和 8。
- 取平均值：（6 + 8）/ 2 = 7。
- 中位数是7。
中位数、平均数和众数：它们之间有什么区别？
这三种集中趋势的度量都描述了数据集的“中心”，但它们回答的问题略有不同，并且在异常值附近表现也不同。
| 测量 | 测量内容 | 受异常值影响？ |
| 平均值 | 所有值的总和除以计数 | 是的，强烈 |
| 中位数 | 有序数据集的中间值 | 不，有抵抗力 |
| 时尚 | 出现频率最高的值 | 不，但可以是未定义的。 |
一个能清晰展现区别的例子： 考虑以下薪资：40,000 美元、42,000 美元、45,000 美元、48,000 美元和 500,000 美元。
- 平均工资为 135,000 美元，但这并不代表任何员工的实际工资。
- 中位数为 45,000 美元，这更能准确地反映普通员工的薪酬水平。
这正是政府机构和研究人员通常报告家庭收入中位数而非平均收入的原因。少数高收入者会拉高平均收入，使其与普通家庭的实际收入严重脱节。
为什么中位数在真实数据中很重要，而不仅仅是在教科书中
中位数经常出现在数学课堂之外，在学生们并不总是能将之与统计学单元联系起来的地方。
中位数的常见实际应用：
- 城市房价中位数，因为少数价值数百万美元的房产会扭曲平均值。
- 班级考试成绩的中位数，用来描述班级的典型表现，避免一个非常高或非常低的分数扭曲整体情况。
- 客户服务数据中的中位响应时间，其中少数极长的异常值通话会扭曲平均值。
- 人口年龄中位数，是国家人口普查机构使用的标准人口统计数据。
需要了解的权衡取舍： 与均值相比，中位数在后续计算中更难使用。你不能像使用均值那样直接用中位数计算方差或标准差，这限制了它在更高级统计学中的应用。
在频数表或分组数据中查找中位数
真实数据集通常以频率表而非简单列表的形式呈现，尤其是在安大略省。 12年级数据管理课程（MDM4U），我们的 MHF4U 与 MDM4U 对比指南 与“高级函数”课程相比，从频数表中查找中位数需要额外一步。
频率表制作步骤：
- 将所有频数相加，求出数据点的总数。
- 对于奇数总数，使用 (n + 1) / 2 计算中间位置；对于偶数总数，使用中间两个位置。
- 将频率值累加起来，直到达到包含中位数的那个位置。
- 读取相应的数值。
示例： 一个班级20名学生在一次测验中得分如下：5名学生得了60分，8名学生得了70分，4名学生得了80分，3名学生得了90分。
- 学生总数：20（偶数）。
- 中间位置：第 10 和 11 个值。
- 累计计数：5（至 60），13（至 70），17（至 80），20（至 90）。
- 第 10 个值和第 11 个值都属于“70”组（因为累计计数在那里达到了 13）。
- 中位数是70。
学生在使用中位数时常犯的错误
- 忘记先对数据集进行排序，导致“中间”位置没有意义。
- 对偶数个数字的数据集使用了错误的公式，忘记对中间两个值求平均值。
- 当题目明确要求的是中间值时，却把中位数和平均数混淆了。
- 错误计算数值总数，尤其是在包含重复数字的较长数据集中。
- 将简单的列表方法应用于分组表或频率表数据，而这些数据需要使用累积频率方法。
这些错误大多可以追溯到最初养成的数字排序习惯。 9年级数学因此，快速复习一下通常就能消除后面成绩中反复出现的中位数错误。
何时使用中位数而不是平均数
决策框架：
- 如果数据集中存在极端异常值（非常高或非常低的值），则使用中位数。
- 如果数据集大致对称且没有明显的异常值，则均值和中位数会很接近，两者都适用。
- 如果您需要将结果用于进一步计算，例如标准差，请使用平均值，因为中位数不能直接支持这些公式。
- 如果你描述的是“典型”经历，例如典型收入或典型房价，那么中位数通常会给出更准确的描述。
即将进入数据密集型大学专业的学生通常会在第一年的统计学课程中重新考虑这个问题，这也是USCA学院将其纳入课程体系的原因之一。 大学预科课程 而不是仅仅把它作为十二年级的一次性学习内容。
结语
中位数能反映数据集的真实中间值，与平均数不同，它不会受到一两个极端值的影响。对数据进行排序，找到中间位置，然后记住偶数规则，取中间两个值的平均值。这项技能可以直接应用到安大略省12年级的数据管理课程以及你高中毕业后遇到的任何统计学知识中。
如果您的孩子正在学习 MDM4U 或更早的统计学课程，并且需要有关集中趋势测量的结构化、一对一辅导，USCA Academy 可以提供帮助。 密西沙加的学分课程 将这个主题纳入12年级的课程体系中。 申请入学 以便匹配到合适的课程级别。
常見問題解答
1.数学中的中位数是什么？
将一组数据按从小到大的顺序排列后，中位数是位于中间位置的值。如果数据个数为偶数，则中位数是中间两个值的平均值。
2.如何求偶数个数值的中位数？
将这些数值按顺序排列，找出中间两个数，然后计算它们的平均值。这个平均值就是中位数。
3.为什么对于某些数据集来说，中位数比平均数更合适？
中位数不易受极端异常值的影响，因为它只取决于有序列表中的位置，而不是每个值的实际大小。
4.中位数可以是原始数据集中不存在的数字吗？
是的，当数据集包含偶数个数值时，中位数就是中间两个数值的平均值，而这两个平均值可能并不与列表中的任何一个数值完全对应。
5.中位数在现实生活中有什么用途？
中位数常用于报告诸如家庭收入中位数、房价中位数和考试成绩中位数等数据，因为当存在异常值时，中位数比平均值更能代表典型值。
6.中位数是安大略省数学课程的一部分吗？
是的。中位数出现在数据管理领域，最直接地体现在12年级的MDM4U课程中，它与平均数和众数一起作为集中趋势的核心度量。
7.中位数和众数有什么区别？
中位数是有序数据集的中间值。众数是出现次数最多的值。一个数据集可以只有一个中位数但有多个众数，或者根本没有众数。
8.你能根据频数表计算出中位数吗？
是的。将频率相加得出总数，找到中间位置，然后使用累积频率找出包含中位数的值或组。
