Tài liệu hướng dẫn này cung cấp cho bạn 100 câu hỏi và đáp án toán học được đánh số cho học sinh từ lớp 9 đến lớp 12, bao gồm 34 ví dụ được giải chi tiết từng bước (được đánh dấu trong khung) và 66 câu hỏi luyện tập bổ sung kèm đáp án. Mỗi chủ đề bắt đầu với một mẹo đơn giản, minh họa cách áp dụng qua 3 đến 4 ví dụ, sau đó đưa ra thêm câu hỏi để bạn thử sử dụng cùng mẹo đó. Các chủ đề (đại số, độ dốc, phân tích nhân tử, lượng giác, lũy thừa, logarit, đạo hàm và thống kê) đều là những kỹ năng toán học cốt lõi ở bậc trung học phổ thông được giảng dạy ở hầu hết các quốc gia, bất kể chương trình học của bạn được gọi là Lớp 9-12, Khối 9-12 hay Năm 9-12. Phương pháp này hiệu quả nhất nếu bạn thực sự che đáp án và cố gắng giải từng câu hỏi trước khi xem đáp án. Nhược điểm là chỉ đọc các ví dụ đã giải sẽ không tự xây dựng được kỹ năng; bạn vẫn cần tự mình làm các câu hỏi luyện tập.
Những điểm nổi bật chính của các câu hỏi và đáp án môn Toán
- Tổng cộng 100 câu hỏi: 34 ví dụ được giải chi tiết từng bước, được hiển thị trong các khung nổi bật, cộng thêm 66 câu hỏi luyện tập bổ sung kèm đáp án, tất cả đều được đánh số liên tục từ 1 đến 100.
- Mỗi phần chủ đề đều dạy một mẹo dễ nhớ trước tiên, chẳng hạn như nhận biết quy luật tam giác 3-4-5 để bỏ qua hoàn toàn phép tính định lý Pythagoras.
- Các chủ đề này (phương trình tuyến tính, phân tích nhân tử, lượng giác, hàm số, logarit, đạo hàm và thống kê) là các nội dung chuẩn trong chương trình toán lớp 9-12 ở Canada, Mỹ, Anh, Ấn Độ và Úc, chỉ khác nhau về tên gọi các môn học.
- Nghiên cứu về tư duy toán học của nhà nghiên cứu Jo Boaler thuộc Đại học Stanford cho thấy rằng học sinh tiến bộ nhanh nhất khi họ hiểu được lý do đằng sau một phương án giải nhanh, chứ không chỉ là bản thân phương án đó.
- Mẹo chỉ hiệu quả khi bạn áp dụng nó vào một câu hỏi mà bạn chưa từng gặp trước đây, đó là lý do tại sao mỗi phần đều kết thúc bằng các câu hỏi luyện tập chưa được giải và đáp án để bạn tự kiểm tra.
100 câu hỏi và đáp án toán học, giải từng bước kèm mẹo
Nếu bạn nghĩ mình ghét toán, rất có thể chưa ai từng chỉ cho bạn con đường tắt giúp bạn hiểu bài nhanh hơn. Một danh sách 100 câu hỏi với câu trả lời chỉ bằng một từ sẽ không dạy bạn được gì. Điều thực sự hiệu quả là nhìn thấy một mẹo rõ ràng, quan sát cách giải một bài toán thực tế từng bước một, và sau đó tự mình thử áp dụng khi lý luận vẫn còn mới mẻ.
Đó chính xác là cách mà cuốn sách hướng dẫn này được xây dựng. Tám chủ đề toán học cốt lõi ở trường trung học, một mẹo giải cho mỗi chủ đề, 3 đến 4 ví dụ được giải chi tiết cho mỗi mẹo được hiển thị trong các khung nổi bật, và nhiều câu hỏi luyện tập kèm đáp án để bạn có thể tự kiểm tra. Mỗi mục, cả ví dụ đã giải và câu hỏi luyện tập, đều được đánh số liên tục từ 1 đến 100, vì vậy không có gì bị che giấu sau một đáp án đơn giản.
Những chủ đề này không bị ràng buộc bởi mã chương trình học của một quốc gia cụ thể nào. Đại số, phương trình tuyến tính, phân tích nhân tử, lượng giác, hàm số và số mũ, logarit, đạo hàm và thống kê tạo thành xương sống của chương trình toán lớp 9 đến lớp 12 ở hầu hết mọi nơi, bất kể trường bạn gọi đó là Toán lớp 10, Toán lớp 10 hay Toán năm 10. Tên gọi có thể thay đổi, nhưng kỹ năng thì không.
Hướng dẫn cách sử dụng thực tế hướng dẫn này
Việc đọc một ví dụ đã được giải mà không tự mình thử làm trước đó có vẻ như là tiến bộ, nhưng nó hầu như không giúp bạn xây dựng được kỹ năng thực sự nào. Hãy che đáp án lại, thử làm bài tập bằng cách sử dụng mẹo, rồi kiểm tra lại bài làm của mình.
Một quy trình đơn giản cho mỗi phần:
- Hãy đọc kỹ hướng dẫn và đảm bảo bạn hiểu tại sao nó hiệu quả, chứ không chỉ hiểu nội dung hướng dẫn.
- Hãy che phần được tô sáng trong ô dành cho Câu hỏi 1 ở phần đó và thử tự giải trước.
- Hãy so sánh các bước thực hiện của bạn với bảng hướng dẫn, chứ không chỉ nhìn vào con số cuối cùng.
- Hãy chuyển sang phần câu hỏi luyện tập được đánh số và cố gắng làm hết tất cả trước khi xem đáp án.
- Nếu bạn làm sai từ 2 câu trở lên, hãy đọc lại mẹo và làm lại các ví dụ đã được đánh dấu một lần nữa trước khi thử các câu hỏi mới.
Chủ đề 1: Giải phương trình bằng thủ thuật “Di chuyển và lật” (Câu hỏi 1-12)
Hầu hết học sinh học cách giải phương trình bằng cách ghi nhớ các bước giải cho từng loại bài toán khác nhau. Có một cách nhanh hơn để suy nghĩ về điều đó.
Bí quyết: Khi một số hạng đi qua dấu bằng, phép toán của nó sẽ bị đảo ngược. Một số đang được cộng sẽ trở thành số bị trừ. Một số đang được nhân sẽ trở thành số chia. Hãy coi dấu bằng như một tấm gương đảo ngược dấu của bất kỳ phép toán nào đi qua nó.
Câu 1: Giải phương trình tìm x: 2x + 5 = 17
Bước 1: Số +5 nằm cùng phía với x. Di chuyển nó qua dấu bằng, nó sẽ trở thành -5. 2x = 17 – 5
Bước 2: Rút gọn vế phải. 2x = 12
Bước 3: Số 2 đang nhân với x. Di chuyển nó sang bên kia, và nó trở thành phép chia. x = 12 / 2
Đáp án: x = 6
Câu 2: Giải phương trình tìm x: 3x – 7 = 2x + 5
Bước 1: Di chuyển 2x từ bên phải sang bên trái. Nó lật thành -2x. 3x – 2x – 7 = 5
Bước 2: Rút gọn vế trái. x – 7 = 5
Bước 3: Di chuyển số -7 sang ngang. Nó sẽ lật thành +7. x = 5 + 7
Đáp án: x = 12
Câu 3: Giải phương trình tìm x: x/4 + 3 = 9
Bước 1: Di chuyển dấu +3 sang ngang. Nó sẽ lật thành -3. x/4 = 9 – 3
Bước 2: Rút gọn. x/4 = 6
Bước 3: Số 4 đang chia cho x. Di chuyển nó sang bên kia, và nó trở thành phép nhân. x = 6 × 4
Đáp án: x = 24
Câu hỏi 4: Giải phương trình tìm x: 5(x – 2) = 25
Bước 1: Trước tiên hãy khai triển ngoặc, rồi mới di chuyển bất cứ thứ gì. 5x – 10 = 25
Bước 2: Di chuyển số -10 sang ngang. Nó sẽ lật thành +10. 5x = 25 + 10
Bước 3: Rút gọn, sau đó chuyển số 5 sang ngang để thực hiện phép chia. 5x = 35 x = 35 / 5
Đáp án: x = 7
Bây giờ hãy tự mình thử nhé.
| # | câu hỏi | Trả lời |
| 5 | Giải phương trình tìm x: 4x + 9 = 21 | x = 3 |
| 6 | Giải phương trình tìm x: 7x – 3 = 25 | x = 4 |
| 7 | Giải phương trình tìm x: x/5 + 2 = 6 | x = 20 |
| 8 | Giải phương trình tìm x: 3(x + 4) = 27 | x = 5 |
| 9 | Giải phương trình tìm x: 2x + 3 = 3x – 4 | x = 7 |
| 10 | Giải phương trình tìm x: 6x – 11 = 13 | x = 4 |
| 11 | Giải phương trình tìm x: x/3 – 2 = 5 | x = 21 |
| 12 | Giải phương trình tìm x: 9 – x = 4 | x = 5 |
Chủ đề 2: Độ dốc và phương trình tuyến tính với mẹo “Độ dốc chia cho độ chạy, điểm bắt đầu và điểm di chuyển” (Câu hỏi 13-24)
Học sinh thường nhầm lẫn số nào trong phương trình y = mx + b có tác dụng gì. Mẹo này giúp loại bỏ sự phỏng đoán đó.
Bí quyết: Trong phương trình y = mx + b, hãy coi “b” là vị trí mà bạn... Bắt đầu trên đồ thị (điểm giao với trục y) và “m” biểu thị số lượng bạn Di chuyển Với mỗi bước dịch chuyển sang phải (độ dốc). Để tìm độ dốc từ hai điểm, hãy đếm sự thay đổi theo chiều dọc (độ cao) trên sự thay đổi theo chiều ngang (độ ngang).
Câu 13: Tìm độ dốc giữa hai điểm (2, 3) và (6, 11)
Bước 1: Tìm độ tăng (thay đổi của y): 11 – 3 = 8
Bước 2: Tìm độ dịch chuyển (thay đổi của x): 6 – 2 = 4
Bước 3: Chia độ tăng cho độ chạy: 8 / 4
Đáp án: độ dốc = 2
Câu 14: Viết phương trình đường thẳng có độ dốc bằng 3, bắt đầu từ điểm (0, 5).
Bước 1: “Bắt đầu” cho bạn biết b, hệ số chặn trục y: b = 5
Bước 2: “Move” cho bạn biết m, độ dốc: m = 3
Bước 3: Thay cả hai giá trị vào phương trình y = mx + b.
Đáp án: y = 3x + 5
Câu 15: Tìm độ dốc của đường thẳng 2x + 4y = 8
Bước 1: Sắp xếp lại thành dạng y = mx + b. Chuyển 2x sang ngang (nó lật thành -2x). 4y = -2x + 8
Bước 2: Chia mỗi hạng tử cho 4. y = -0.5x + 2
Đáp án: độ dốc = -0.5
Câu 16: Các điểm (1, 2), (3, 6) và (5, 10) có nằm trên cùng một đường thẳng không?
Bước 1: Tìm độ dốc giữa hai điểm đầu tiên: (6 – 2) / (3 – 1) = 4 / 2 = 2
Bước 2: Tìm độ dốc giữa hai điểm còn lại: (10 – 6) / (5 – 3) = 4 / 2 = 2
Bước 3: Cả hai độ dốc đều trùng nhau, vì vậy các điểm di chuyển với tốc độ như nhau.
Trả lời: Có, cả ba điểm đều nằm trên cùng một đường thẳng.
Bây giờ hãy tự mình thử nhé.
| # | câu hỏi | Trả lời |
| 17 | Tìm độ dốc giữa điểm (0, 0) và điểm (4, 8). | độ dốc = 2 |
| 18 | Viết phương trình có độ dốc -2, bắt đầu từ (0, 7) | y = -2x + 7 |
| 19 | Tìm độ dốc của phương trình y = 4x – 9 | độ dốc = 4 |
| 20 | Tìm điểm giao với trục y của phương trình y = -3x + 10 | điểm cắt trục y = 10 |
| 21 | Tìm độ dốc giữa điểm (-2, 5) và điểm (2, 13). | độ dốc = 2 |
| 22 | Điểm (2, 5) có nằm trên đường thẳng y = 2x + 1 không? | Đúng vậy, vì 2(2)+1 = 5 |
| 23 | Tìm b nếu đường thẳng có độ dốc 5 đi qua điểm (1, 9). | b = 4 |
| 24 | Tìm độ dốc của đường thẳng nằm ngang y = 7 | độ dốc = 0 |
Chủ đề 3: Phân tích đa thức bậc hai thành nhân tử bằng phương pháp “nhân và cộng” (Câu hỏi 25-36)
Việc phân tích thành thừa số thoạt nhìn có vẻ như là phỏng đoán cho đến khi bạn có một hệ thống. Hệ thống này hoạt động với hầu hết mọi phương trình bậc hai đơn giản mà bạn sẽ gặp.
Bí quyết: Đối với phương trình x² + bx + c, hãy tìm hai số nhân với nhau bằng c và cộng lại bằng b. Hai số đó sẽ được đặt thẳng vào trong ngoặc.
Câu 25: Phân tích đa thức x² + 7x + 12 thành thừa số
Bước 1: Liệt kê các cặp thừa số của 12: (1,12), (2,6), (3,4)
Bước 2: Tìm cặp số có tổng bằng 7: 3 và 4
Bước 3: Hãy viết dấu ngoặc bằng cách sử dụng hai số đó.
Đáp án: (x + 3)(x + 4)
Câu 26: Giải phương trình x² – 5x + 6 = 0
Bước 1: Tìm hai số nhân với nhau bằng 6 và tổng của chúng bằng -5: -2 và -3
Bước 2: Viết dạng phân tích thành thừa số. (x – 2)(x – 3) = 0
Bước 3: Đặt mỗi dấu ngoặc bằng 0 và giải.
Đáp án: x = 2 hoặc x = 3
Câu 27: Phân tích x² – 9 thành thừa số
Bước 1: Nhận biết đây là dạng “hiệu của bình phương”: a² – b² = (a – b)(a + b)
Bước 2: Ở đây, a = x và b = 3, vì 3² = 9.
Đáp án: (x – 3)(x + 3)
Câu 28: Giải phương trình x² + 2x – 8 = 0 bằng công thức nghiệm bậc hai
Bước 1: Xác định a = 1, b = 2, c = -8, sau đó sử dụng x = (-b ± √(b² – 4ac)) / 2a
Bước 2: Tính biệt thức: b² – 4ac = 4 – 4(1)(-8) = 4 + 32 = 36
Bước 3: Lấy căn bậc hai của 36, ta được 6, rồi thay vào công thức. x = (-2 ± 6) / 2
Đáp án: x = 2 hoặc x = -4
Bây giờ hãy tự mình thử nhé.
| # | câu hỏi | Trả lời |
| 29 | Phân tích x² + 5x + 6 thành thừa số | (x + 2) (x + 3) |
| 30 | Phân tích x² – x – 6 thành thừa số | (x – 3)(x + 2) |
| 31 | Giải phương trình x² – 16 = 0 | x = 4 hoặc x = -4 |
| 32 | Phân tích x² + 9x + 20 thành thừa số | (x + 4) (x + 5) |
| 33 | Giải hệ phương trình x² + 3x – 10 = 0 | x = 2 hoặc x = -5 |
| 34 | Phân tích x² – 4x + 4 thành thừa số | (x – 2)XNUMX |
| 35 | Giải phương trình 2x² – 8 = 0 | x = 2 hoặc x = -2 |
| 36 | Phân tích x² – 25 | (x – 5)(x + 5) |
Chủ đề 4: Lượng giác góc vuông với mẹo “Tìm bộ ba số giống nhau” (Câu hỏi 37-48)
Lượng giác thường bị mang tiếng xấu, nhưng phần lớn nó là về nhận dạng quy luật một khi bạn biết cần tìm kiếm điều gì.
Bí quyết: Một số bộ số nhất định, được gọi là bộ ba số Pythagore, luôn tạo thành một tam giác vuông: 3-4-5, 5-12-13, 8-15-17 và các bội số của chúng (như 6-8-10). Nếu bạn tìm thấy một trong số đó, bạn có thể bỏ qua hoàn toàn phép tính theo định lý Pythagore.
Câu 37: Một tam giác vuông có hai cạnh góc vuông dài 6 và 8. Tìm cạnh huyền.
Bước 1: Hãy lưu ý rằng 6 và 8 gấp đôi 3 và 4, là bội số của bộ ba 3-4-5.
Bước 2: Cạnh huyền phải gấp đôi 5.
Đáp án: cạnh huyền = 10
Câu 38: Tìm sin(30°) mà không dùng máy tính
Bước 1: Hãy nhớ lại tam giác đặc biệt 30-60-90, trong đó các cạnh luôn có tỉ lệ 1 : √3 : 2.
Bước 2: Sin bằng cạnh đối chia cho cạnh huyền. Với góc 30°, cạnh đối là 1 và cạnh huyền là 2.
Đáp án: sin(30°) = 1/2
Câu 39: Một cái thang dài 12 mét trên tường, chân thang cách tường 5 mét. Tìm chiều dài của thang.
Bước 1: Nhận biết 5 và 12 là một bộ ba số Pythagore: 5-12-13.
Bước 2: Cạnh còn thiếu (cạnh thang, chính là cạnh huyền) là 13.
Đáp án: Chiều dài thang = 13 mét
Câu 40: Tìm góc A nếu tan(A) = 1
Bước 1: Hãy nhớ lại các góc đặc biệt: tan(0°) = 0, tan(30°) ≈ 0.577, tan(45°) = 1, tan(60°) ≈ 1.73.
Bước 2: Hãy tìm tan(A) = 1 tương ứng với góc đặc biệt mà điều này đúng.
Đáp án: A = 45°
Bây giờ hãy tự mình thử nhé.
| # | câu hỏi | Trả lời |
| 41 | Tìm cạnh huyền của một tam giác vuông có hai cạnh góc vuông là 9 và 12. | 15 |
| 42 | Tìm cos(60°) | 0.5 |
| 43 | Tìm cạnh huyền của một tam giác vuông có hai cạnh góc vuông là 7 và 24. | 25 |
| 44 | Tìm sin(90°) | 1 |
| 45 | Tìm tan(30°) | ≈ 0.577 |
| 46 | Tìm cạnh huyền của một tam giác vuông có hai cạnh góc vuông là 8 và 15. | 17 |
| 47 | Tìm cos(0°) | 1 |
| 48 | Tìm góc A nếu sin(A) = 0.5 | A = 30° |
Chủ đề 5: Các quy tắc về lũy thừa với thủ thuật “Nhân cộng, chia trừ” (Câu hỏi 49-60)
Các quy tắc lũy thừa thoạt nhìn có vẻ như một danh sách dài cần ghi nhớ, nhưng chúng sẽ quy về một ý tưởng duy nhất khi bạn nhận ra quy luật của chúng.
Bí quyết: Khi cơ số trùng nhau, phép nhân nghĩa là cộng các số mũ, phép chia nghĩa là trừ các số mũ, và lũy thừa một số mũ khác nghĩa là nhân các số mũ với nhau.
Câu hỏi 49: Rút gọn (2³)(2⁴)
Bước 1: Cơ số giống nhau (cả hai đều là 2), và phép toán là phép nhân, nên cộng các số mũ. 2^(3+4) = 2^7
Trả lời: 128
Câu 50: Rút gọn x⁵ / x²
Bước 1: Cơ số trùng nhau và phép toán là phép chia, vì vậy hãy trừ số mũ. x^(5-2)
Đáp án: x³
Câu 51: Rút gọn (x³)²
Bước 1: Đây là lũy thừa bậc cao hơn, vì vậy nhân các số mũ với nhau. x^(3×2)
Đáp án: x⁶
Câu 52: Giải phương trình tìm x: 3^x = 81
Bước 1: Viết lại 81 dưới dạng lũy thừa của 3: 81 = 3 × 3 × 3 × 3 = 3⁴
Bước 2: Vì cơ số đã trùng nhau, nên số mũ cũng phải bằng nhau.
Đáp án: x = 4
Bây giờ hãy tự mình thử nhé.
| # | câu hỏi | Trả lời |
| 53 | Rút gọn (5²)(5³) | 5⁵ = 3125 |
| 54 | Rút gọn x⁷ / x³ | x⁴ |
| 55 | Đơn giản hóa (2²)³ | 64 |
| 56 | Giải phương trình tìm x: 2^x = 32 | x = 5 |
| 57 | Rút gọn (3x²y)(4xy³) | 12x³y⁴ |
| 58 | Giải phương trình tìm x: 4^x = 64 | x = 3 |
| 59 | Rút gọn x⁶ / x² | x⁴ |
| 60 | Rút gọn (x⁴)² | x⁸ |
Chủ đề 6: Logarit với thủ thuật “Logarit chỉ đang đặt câu hỏi” (Câu hỏi 61-72)
Logarit làm học sinh bối rối chủ yếu vì ký hiệu của nó trông khá phức tạp. Tuy nhiên, ý tưởng cơ bản bên trong lại rất đơn giản.
Bí quyết: log_b(x) chỉ đơn giản là hỏi, “Tôi cần nâng b lên lũy thừa bao nhiêu để được x?” Hãy viết lại mọi câu hỏi về logarit dưới dạng câu hỏi đơn giản đó trước khi làm bất cứ điều gì khác.
Câu hỏi 61: Tính log₂(8)
Bước 1: Hãy đặt câu hỏi: 2 lũy thừa bao nhiêu bằng 8?
Bước 2: 2³ = 8, vậy số mũ là 3.
Trả lời: 3
Câu 62: Giải log(x) = 2 (giả sử cơ số là 10 khi không ghi rõ cơ số)
Bước 1: Hãy đặt câu hỏi: 10 lũy thừa bao nhiêu bằng x? Số mũ là 2.
Bước 2: Vậy x = 10²
Đáp án: x = 100
Câu 63: Giải phương trình log₃(x) = 2
Bước 1: Hãy đặt câu hỏi: 3 lũy thừa bao nhiêu bằng x? Số mũ là 2.
Bước 2: Vậy x = 3² = 9
Đáp án: x = 9
Câu 64: Rút gọn log(100) + log(10)
Bước 1: log(100) hỏi: 10 lũy thừa bao nhiêu bằng 100? Câu trả lời: 2.
Bước 2: log(10) hỏi: 10 lũy thừa bao nhiêu bằng 10? Câu trả lời: 1.
Bước 3: Cộng hai kết quả lại với nhau.
Trả lời: 3
Bây giờ hãy tự mình thử nhé.
| # | câu hỏi | Trả lời |
| 65 | Tính log₅(25) | 2 |
| 66 | Tính log₂(16) | 4 |
| 67 | Tính log(1000) | 3 |
| 68 | Tính log₄(64) | 3 |
| 69 | Tính log₃(27) | 3 |
| 70 | Tính log(10000) | 4 |
| 71 | Tính log₂(1) | 0 |
| 72 | Tính log₇(49) | 2 |
Chủ đề 7: Đạo hàm với thủ thuật “Hạ xuống rồi trừ đi một” (Câu hỏi 73-84)
Giải tích trông có vẻ khó nhằn trên lý thuyết, nhưng quy tắc đầu tiên bạn học được sẽ giải quyết gần như toàn bộ vấn đề.
Bí quyết: Đối với f(x) = xⁿ, hãy đưa số mũ xuống phía trước dưới dạng hệ số nhân, sau đó trừ đi một từ số mũ. Bất kỳ số nào đứng một mình (hằng số) đều biến mất, vì số phẳng không có độ dốc.
Câu 73: Tìm đạo hàm của f(x) = x³
Bước 1: Đưa số 3 xuống phía trước, sau đó trừ đi một từ số mũ. 3x^(3-1)
Đáp án: f'(x) = 3x²
Câu 74: Tìm đạo hàm của hàm số f(x) = 5x² + 3x
Bước 1: Áp dụng thủ thuật này cho từng hạng tử riêng biệt. Đối với 5x², hạ số 2 xuống và nhân với 5: 10x^(2-1)
Bước 2: Đối với 3x (thực chất là 3x¹), hạ số 1 xuống: 3x^(1-1) = 3x⁰ = 3
Đáp án: f'(x) = 10x + 3
Câu 75: Tìm đạo hàm của hàm số f(x) = x⁴ – 2x² + 7
Bước 1: Áp dụng thủ thuật này cho x⁴: 4x³
Bước 2: Áp dụng thủ thuật này cho -2x²: -4x
Bước 3: Hằng số 7 biến mất hoàn toàn, vì hằng số không có độ dốc.
Đáp án: f'(x) = 4x³ – 4x
Câu 76: Tìm đạo hàm của hàm số f(x) = 1/x
Bước 1: Viết lại 1/x thành x⁻¹, vậy thủ thuật này vẫn áp dụng được.
Bước 2: Hạ -1 xuống và trừ đi một từ số mũ: -1x^(-1-1) = -1x⁻²
Đáp án: f'(x) = -1/x²
Bây giờ hãy tự mình thử nhé.
| # | câu hỏi | Trả lời |
| 77 | Tìm đạo hàm của f(x) = x⁵ | f'(x) = 5x⁴ |
| 78 | Tìm đạo hàm của hàm số f(x) = 3x³ – 2x | f'(x) = 9x² – 2 |
| 79 | Tìm đạo hàm của f(x) = 7 | f'(x) = 0 |
| 80 | Tìm đạo hàm của hàm số f(x) = x² + 4x + 9 | f'(x) = 2x + 4 |
| 81 | Tìm đạo hàm của hàm số f(x) = 2x⁴ | f'(x) = 8x³ |
| 82 | Tìm đạo hàm của f(x) = x⁻² | f'(x) = -2x⁻³ |
| 83 | Tìm đạo hàm của hàm số f(x) = 6x | f'(x) = 6 |
| 84 | Tìm đạo hàm của hàm số f(x) = x³ + x² + x + 1 | f'(x) = 3x² + 2x + 1 |
Chủ đề 8: Trung bình cộng, Trung vị, Số mode và Xác suất với mẹo “Chia sẻ, Xếp hàng, Phổ biến nhất” (Câu hỏi 85-96)
Các bài toán thống kê trông khác với đại số, nhưng mỗi phép đo đều có một nhiệm vụ đơn giản dễ hiểu.
Bí quyết: Trung bình chia đều trong số tất cả mọi người. Trung vị có nghĩa là Xếp hàng mọi người và tìm giá trị trung bình. Chế độ nghĩa là phổ biến nhất giá trị. Xác suất luôn có nghĩa là kết quả thuận lợi chia cho tổng số kết quả.
Câu 85: Tìm trung bình cộng của các số 4, 8, 6, 10, 12
Bước 1: Cộng tất cả các giá trị lại: 4 + 8 + 6 + 10 + 12 = 40
Bước 2: Chia cho số lượng giá trị: 40 / 5
Đáp án: trung bình = 8
Câu 86: Tìm trung vị của các số 3, 7, 9, 12, 15
Bước 1: Các giá trị đã được sắp xếp theo thứ tự và có 5 giá trị (một số lẻ).
Bước 2: Giá trị ở giữa, giá trị thứ 3, là trung vị.
Đáp án: trung vị = 9
Câu hỏi 87: Tìm trung vị của các số 8, 3, 10, 6.
Bước 1: Sắp xếp theo thứ tự: 3, 6, 8, 10. Có 4 giá trị (một số chẵn).
Bước 2: Trung bình cộng của hai giá trị ở giữa: (6 + 8) / 2
Đáp án: trung vị = 7
Câu hỏi 88: Tìm xác suất tung được số 4 trên một con xúc xắc sáu mặt tiêu chuẩn.
Bước 1: Hãy đếm số kết quả thuận lợi: chỉ có một phía hiển thị số 4.
Bước 2: Đếm tổng số kết quả: Tổng cộng 6 mặt.
Đáp án: xác suất = 1/6
Bây giờ hãy tự mình thử nhé.
| # | câu hỏi | Trả lời |
| 89 | Tìm giá trị trung bình của các số 2, 4, 6, 8, 10. | 6 |
| 90 | Tìm trung vị của các số 1, 2, 3, 4, 5, 6. | 3.5 |
| 91 | Tìm số nhiều nhất (mode) của dãy số 2, 3, 3, 5, 7, 3, 8. | 3 |
| 92 | Tìm xác suất tung được mặt ngửa khi tung một đồng xu công bằng. | 1/2 |
| 93 | Tìm giá trị trung bình của 10, 20, 30. | 20 |
| 94 | Tìm trung vị của các số 5, 9, 2, 8, 1. | 5 |
| 95 | Tìm xác suất rút được quân Át từ một bộ bài tiêu chuẩn. | 1/13 |
| 96 | Tìm giá trị trung bình của 100, 200, 300, 400. | 250 |
Vòng thưởng: Kết hợp các thủ thuật (Câu hỏi 97-100)
Các bài kiểm tra thực tế hiếm khi chỉ tập trung vào một chủ đề cho mỗi câu hỏi. Một vài câu hỏi cuối cùng này kết hợp hai thủ thuật cùng một lúc, và đó chính là kỹ năng giúp phân biệt điểm số cao với điểm số trung bình.
Câu 97: Giải phương trình 2(x + 3)² = 32 để tìm x
Bước 1: Di chuyển số 2 sang ngang bằng cách sử dụng "di chuyển và lật". Nó trở thành phép chia. (x + 3)² = 16
Bước 2: Lấy căn bậc hai của cả hai vế. Nhớ cả căn bậc hai dương và âm. x + 3 = ±4
Bước 3: Giải riêng từng trường hợp: x + 3 = 4 cho kết quả x = 1, và x + 3 = -4 cho kết quả x = -7.
Đáp án: x = 1 hoặc x = -7
Câu 98: Phân tích và giải phương trình x² – 2x – 15 = 0
Bước 1: Tìm hai số tích của chúng bằng -15 và cộng lại bằng -2: -5 và 3.
Bước 2: Viết dạng phân tích thành thừa số và giải từng ngoặc. (x – 5)(x + 3) = 0
Đáp án: x = 5 hoặc x = -3
Bây giờ hãy tự mình thử nhé.
| # | câu hỏi | Trả lời |
| 99 | Tìm hệ số góc và điểm cắt trục y của phương trình 3x + y = 9 | hệ số góc = -3, hệ số chặn trục y = 9 |
| 100 | Tìm xác suất để tung được tổng là 7 khi tung hai con xúc xắc. | 1/6 (6 kết quả thuận lợi trong số 36) |
Vì sao các mẹo vặt lại hiệu quả hơn việc ghi nhớ các bước?
Một mẹo hay có hiệu quả vì nó giúp bạn ghi nhớ một ý tưởng duy nhất thay vì mười bước rời rạc. Nghiên cứu về tư duy toán học của nhà nghiên cứu giáo dục Jo Boaler tại Stanford cho thấy rằng những học sinh hiểu được lý do đằng sau một mẹo rút gọn sẽ ghi nhớ nó lâu hơn nhiều so với những học sinh chỉ ghi nhớ quy trình mà không hiểu tại sao nó lại hiệu quả.
Một lỗi cần tránh: Sử dụng thủ thuật mà không hiểu tại sao nó lại hiệu quả. Nếu bạn chỉ học thuộc lòng "phép nhân cộng các số mũ" mà không biết nó xuất phát từ phép nhân lặp đi lặp lại, bạn sẽ quên ngay khi câu hỏi trông hơi khác một chút.
Những lỗi thường gặp mà học sinh hay mắc phải ngay cả khi biết cách khắc phục.
- Quên dấu căn bậc hai âm khi giải phương trình có chứa bình phương, ví dụ như x + 3 = ±4 thay vì chỉ +4.
- Áp dụng một thủ thuật vào một câu hỏi mà nó không được dùng cho, chẳng hạn như sử dụng quy luật hiệu bình phương trên một tam thức bậc hai không phù hợp với quy luật đó.
- Vội vàng bỏ qua phần "tại sao" của một thủ thuật và chỉ ghi nhớ phần "cái gì", điều này sẽ dẫn đến hậu quả khi gặp câu hỏi không quen thuộc.
- Nhầm lẫn giữa trung bình cộng và trung vị khi câu hỏi yêu cầu giá trị "ở giữa".
- Quên rằng một hằng số sẽ biến mất khi tìm đạo hàm, và vô tình để nó lại trong kết quả.
Kết luận
Cách nhanh nhất để hết ghét toán là ngừng coi mỗi câu hỏi là hoàn toàn mới. Bên dưới 100 bài toán trông khác nhau chỉ là 8 ý tưởng cốt lõi, và một khi bạn nắm được một mẹo nào đó, toàn bộ các loại bài tập khác sẽ trở nên dễ dàng hơn cùng lúc. Hãy xem lại bất kỳ phần nào ở đây mà bạn làm sai hơn 2 câu hỏi luyện tập, và làm lại các ví dụ được đánh dấu trước khi chuyển sang phần tiếp theo.
Nếu con bạn cần hỗ trợ cá nhân để áp dụng những mẹo này vào việc đạt kết quả kiểm tra ổn định, Học viện USCA sẽ giúp bạn. các khóa học tín chỉ ở Mississauga bao quát tất cả các chủ đề này trên Lớp 9 thông qua Lớp 12Với các lớp học nhỏ được xây dựng dựa trên phương pháp giảng dạy lấy kỹ thuật làm trọng tâm như vậy. Đăng ký nhập học để được xếp vào khóa học phù hợp với trình độ của bạn.
Câu Hỏi Thường Gặp
1.Những câu hỏi này có dựa trên chương trình giảng dạy của một quốc gia cụ thể nào không?
Không. Đây là những kỹ năng cơ bản về đại số, lượng giác, hàm số và thống kê được dạy từ lớp 9 đến lớp 12 (hoặc Lớp 9-12, hoặc Năm 9-12) ở hầu hết các quốc gia, bao gồm Canada, Mỹ, Anh, Ấn Độ và Úc.
2.Tại sao chỉ có 34 ví dụ minh họa nếu tiêu đề ghi là 100 câu hỏi?
Tài liệu hướng dẫn này bao gồm tổng cộng 100 câu hỏi được đánh số: 34 câu được trình bày dưới dạng ví dụ có lời giải chi tiết từng bước trong các khung được tô sáng, và 66 câu còn lại là câu hỏi luyện tập kèm đáp án để bạn có thể tự kiểm tra từng thủ thuật ngay sau khi học.
3.Liệu việc ghi nhớ những mẹo này có đủ để tôi vượt qua các bài kiểm tra không?
Các mẹo giúp tăng tốc độ nhận diện, nhưng bạn vẫn cần luyện tập áp dụng chúng vào các câu hỏi mới. Sử dụng các câu hỏi thực hành trong mỗi phần để xác nhận rằng mẹo đó đã thực sự được áp dụng, chứ không chỉ đơn thuần là đọc hiểu.
4.Nếu sau khi học được mẹo này mà tôi làm sai vài câu hỏi luyện tập thì sao?
Hãy đọc lại phần giải thích mẹo và làm lại các ví dụ đã được đánh dấu một lần nữa trước khi chuyển sang câu hỏi mới. Việc làm sai nhiều câu thường có nghĩa là bạn chưa hiểu rõ "lý do" đằng sau mẹo đó.
5.Tại sao những mẹo này lại hiệu quả hơn so với việc chỉ học thuộc lòng các bước?
Nghiên cứu về tư duy toán học cho thấy rằng việc hiểu được lý do đằng sau một phương pháp giải nhanh giúp ghi nhớ lâu hơn nhiều so với việc chỉ học thuộc lòng một quy trình mà không có lời giải thích kèm theo.
6.Nếu tôi đang học yếu toán, tôi nên bắt đầu từ chủ đề nào?
Hãy bắt đầu với Chủ đề 1 (giải phương trình) ngay cả khi khóa học hiện tại của bạn nâng cao hơn, vì hầu hết các chủ đề sau trong hướng dẫn này đều phụ thuộc vào việc bạn đã thành thạo việc sắp xếp lại phương trình trước đó.
7.Tôi có thể sử dụng những mẹo này trong bài kiểm tra yêu cầu dùng máy tính không?
Đúng vậy. Các mẹo chủ yếu giúp bạn suy nghĩ nhanh hơn và giảm thiểu những lỗi bất cẩn. Máy tính vẫn hữu ích trong việc tính toán, nhưng các mẹo giúp bạn xác định vấn đề chính xác ngay từ đầu.
8.Tôi nên làm bao nhiêu trong số 100 câu hỏi trong một lần?
Hoàn thành trọn vẹn một phần chủ đề, bao gồm cả mẹo, các ví dụ đã giải được đánh dấu và các câu hỏi luyện tập, trong một lần ngồi. Đó là khoảng 12 câu hỏi, một số lượng có thể xử lý được trước khi bạn bắt đầu mất tập trung.
