یہ گائیڈ آپ کو گریڈ 9 سے 12 کے لیے ریاضی کے 100 نمبر والے سوالات اور جوابات، 34 مکمل طور پر کام میں تقسیم، مرحلہ وار مثالیں (بکس میں نمایاں کردہ) اور جوابات کے ساتھ 66 اضافی پریکٹس سوالات فراہم کرتا ہے۔ ہر موضوع ایک سادہ چال سے شروع ہوتا ہے، یہ دکھاتا ہے کہ یہ 3 سے 4 کام کی گئی مثالوں پر کام کرتا ہے، پھر اسی چال کو استعمال کرنے کے لیے آپ کو مزید سوالات فراہم کرتا ہے۔ موضوعات (الجبرا، ڈھلوان، فیکٹرنگ، ٹرگنومیٹری، ایکسپوننٹ، لوگارتھمز، مشتقات، اور شماریات) وہی بنیادی ہائی اسکول ریاضی کی مہارتیں ہیں جو زیادہ تر ممالک میں پڑھائی جاتی ہیں، چاہے آپ کے کورس کو گریڈ 9-12، کلاس 9-12، یا سال 9-12 کہا جائے۔ یہ سب سے بہتر کام کرتا ہے اگر آپ اصل میں جواب کا احاطہ کرتے ہیں اور ہر سوال کو چیک کرنے سے پہلے کوشش کرتے ہیں۔ تجارت یہ ہے کہ صرف کام کی گئی مثالوں کو پڑھنے سے خود ہی مہارت پیدا نہیں ہوگی۔ آپ کو ابھی بھی مشق کے سوالات خود کرنے کی ضرورت ہے۔

ریاضی کے سوالات اور جوابات کی اہم جھلکیاں

• مجموعی طور پر 100 سوالات: 34 مکمل طور پر کام کی گئی، مرحلہ وار مثالیں نمایاں کردہ خانوں میں دکھائی گئی ہیں، علاوہ ازیں جوابات کے ساتھ مزید 66 پریکٹس سوالات، سبھی 1 سے 100 تک مسلسل شمار کیے گئے ہیں۔
• ہر موضوع کا سیکشن سب سے پہلے ایک یادگار چال سکھاتا ہے، جیسے کہ 3-4-5 مثلث کے پیٹرن کو پہچاننا ایک Pythagorean تھیوریم کیلکولیشن کو مکمل طور پر چھوڑنا۔
• یہ عنوانات (لکیری مساوات، فیکٹرنگ، مثلثیات، افعال، لوگارتھمز، مشتقات، اور اعدادوشمار) کینیڈا، امریکہ، برطانیہ، ہندوستان، اور آسٹریلیا میں گریڈ 9-12 کے ریاضی کے نصاب میں صرف مختلف کورس کے ناموں کے تحت معیاری ہیں۔
• اسٹینفورڈ کے محقق جو بولر کا ریاضی کی ذہنیت پر کام ظاہر کرتا ہے کہ طلباء اس وقت سب سے تیزی سے بہتر ہوتے ہیں جب وہ شارٹ کٹ کے پیچھے استدلال دیکھتے ہیں، نہ کہ خود شارٹ کٹ۔
• ایک چال صرف اس صورت میں قائم رہتی ہے جب آپ اسے کسی ایسے سوال پر استعمال کرتے ہیں جو آپ نے پہلے نہیں دیکھے ہوں گے، یہی وجہ ہے کہ ہر سیکشن غیر حل شدہ پریکٹس سوالات اور جوابات کے ساتھ ختم ہوتا ہے تاکہ آپ خود کو چیک کریں۔

ریاضی کے 100 سوالات اور جوابات، تدبیر کے ساتھ مرحلہ وار حل

اگر آپ کو لگتا ہے کہ آپ ریاضی سے نفرت کرتے ہیں، تو ایک اچھا موقع ہے کہ کسی نے بھی آپ کو وہ شارٹ کٹ نہیں دکھایا جو موضوع پر کلک کرتا ہے۔ ایک لفظی جوابات کے ساتھ 100 سوالات کی فلیٹ فہرست آپ کو کچھ نہیں سکھاتی۔ اصل میں جو چیز کام کرتی ہے وہ ہے ایک واضح چال دیکھنا، اسے ایک حقیقی سوال کو قدم بہ قدم حل کرنا، اور پھر اسے خود آزمانا جب کہ استدلال ابھی تازہ ہے۔

اس گائیڈ کو بالکل اسی طرح بنایا گیا ہے۔ ہائی اسکول کے ریاضی کے آٹھ بنیادی موضوعات، ایک ٹِک فی موضوع، 3 سے 4 مکمل طور پر کام کرنے والی مثالیں فی ٹِک جو ہائی لائٹ کیے گئے خانوں میں دکھائی گئی ہیں، اور جوابات کے ساتھ مزید پریکٹس سوالات تاکہ آپ خود کو جانچ سکیں۔ ہر ایک آئٹم، کام کی گئی مثال اور مشق سوال یکساں، 1 سے 100 تک لگاتار نمبر دی جاتی ہے، اس لیے سادہ جواب کی کلید کے پیچھے کچھ نہیں چھپا ہوتا ہے۔

یہ موضوعات کسی ایک ملک کے کورس کوڈز سے منسلک نہیں ہیں۔ الجبرا، لکیری مساوات، فیکٹرنگ، مثلثیات، فنکشنز اور ایکسپوننٹ، لوگارتھم، مشتقات، اور اعدادوشمار گریڈ 9 سے لے کر گریڈ 12 کی ریاضی کی ریڑھ کی ہڈی کی حیثیت رکھتے ہیں تقریباً ہر جگہ، چاہے آپ کا اسکول اسے گریڈ 10 کی ریاضی کہے، کلاس 10 کی ریاضی، یا سال 10 کی ریاضی کہے۔ نام بدل جاتے ہیں۔ ہنر نہیں ہے.

اس گائیڈ کو اصل میں کیسے استعمال کریں۔

حل شدہ مثال کو خود آزمائے بغیر پڑھنا پہلے ترقی کی طرح محسوس ہوتا ہے، لیکن اس سے بمشکل کوئی حقیقی مہارت پیدا ہوتی ہے۔ جواب کا احاطہ کریں، چال کا استعمال کرتے ہوئے سوال کو آزمائیں، پھر اپنا کام چیک کریں۔

ہر سیکشن کے لیے ایک سادہ عمل:

1. چال پڑھیں اور یقینی بنائیں کہ آپ سمجھتے ہیں کہ یہ کیوں کام کرتا ہے، نہ کہ صرف یہ کیا کہتا ہے۔
2. اس سیکشن میں سوال 1 کے لیے نمایاں کردہ باکس کو ڈھانپیں اور پہلے اسے خود حل کرنے کی کوشش کریں۔
3. باکس کے خلاف اپنے اقدامات کو چیک کریں، نہ صرف آپ کا حتمی نمبر۔
4. نمبر والے پریکٹس سوالات پر جائیں اور کسی بھی جواب کو چیک کرنے سے پہلے ان سب کی کوشش کریں۔
5. اگر آپ کو 2 یا اس سے زیادہ غلط ملتے ہیں تو نئے سوالات کو آزمانے سے پہلے اس چال کو دوبارہ پڑھیں اور نمایاں کردہ کام کی مثالوں کو دوبارہ کریں۔

موضوع 1: "موو اینڈ فلپ" چال کے ساتھ مساوات کو حل کرنا (سوالات 1-12)

زیادہ تر طلباء ہر مختلف قسم کے مسئلے کے لیے اقدامات کو یاد کرکے مساوات کو حل کرنا سیکھتے ہیں۔ اس کے بارے میں سوچنے کا ایک تیز طریقہ ہے۔

چال: جب کوئی اصطلاح مساوی نشان کو عبور کرتی ہے، تو یہ اپنے عمل کو پلٹ دیتی ہے۔ ایک عدد جو شامل کیا گیا تھا گھٹایا جاتا ہے۔ ایک عدد جو ضرب کر رہا تھا تقسیم ہو جاتا ہے۔ مساوی نشان کو ایک آئینہ سمجھیں جو کسی بھی چیز کے نشان کو پلٹتا ہے جو اسے عبور کرتا ہے۔

سوال 1: x کے لیے حل کریں: 2x + 5 = 17

1 مرحلہ: +5 اسی طرف ہے جیسا کہ x۔ اسے مساوی نشان پر منتقل کریں، اور یہ -5 پر پلٹ جائے گا۔ 2x = 17 – 5

2 مرحلہ: دائیں طرف کو آسان بنائیں۔ 2x = 12

3 مرحلہ: 2 x کو ضرب دے رہا ہے۔ اسے اس پار منتقل کریں، اور یہ تقسیم کی طرف پلٹ جاتا ہے۔ x = 12/2

جواب: x = 6

سوال 2: x کے لیے حل کریں: 3x – 7 = 2x + 5

1 مرحلہ: 2x کو دائیں جانب سے بائیں طرف منتقل کریں۔ یہ -2x پر پلٹ جاتا ہے۔ 3x – 2x – 7 = 5

2 مرحلہ: بائیں طرف کو آسان بنائیں۔ x – 7 = 5

3 مرحلہ: -7 کو اس پار منتقل کریں۔ یہ +7 پر پلٹ جاتا ہے۔ x = 5 + 7

جواب: x = 12

سوال 3: x کے لیے حل کریں: x/4 + 3 = 9

1 مرحلہ: +3 کو اس پار منتقل کریں۔ یہ -3 پر پلٹ جاتا ہے۔ x/4 = 9 – 3

2 مرحلہ: آسان بنائیں۔ x/4 = 6

3 مرحلہ: 4 x کو تقسیم کر رہا ہے۔ اسے اس پار منتقل کریں، اور یہ ضرب کی طرف پلٹ جاتا ہے۔ x = 6 × 4

جواب: x = 24

سوال 4: x: 5(x – 2) = 25 کے لیے حل کریں۔

1 مرحلہ: کسی بھی چیز کو منتقل کرنے سے پہلے پہلے بریکٹ کو پھیلائیں۔ 5x - 10 = 25

2 مرحلہ: -10 کو اس پار منتقل کریں۔ یہ +10 پر پلٹ جاتا ہے۔ 5x = 25 + 10

3 مرحلہ: آسان بنائیں، پھر 5 کو تقسیم کے طور پر منتقل کریں۔ 5x = 35 x = 35 / 5

جواب: x = 7

اب ان کو خود آزمائیں

#	س	کا جواب
5	x کے لیے حل کریں: 4x + 9 = 21	X = 3
6	x کے لیے حل کریں: 7x – 3 = 25	X = 4
7	x کے لیے حل کریں: x/5 + 2 = 6	X = 20
8	حل کریں x: 3(x + 4) = 27	X = 5
9	x کے لیے حل کریں: 2x + 3 = 3x – 4	X = 7
10	x کے لیے حل کریں: 6x – 11 = 13	X = 4
11	x کے لیے حل کریں: x/3 – 2 = 5	X = 21
12	x کے لئے حل کریں: 9 – x = 4	X = 5

موضوع 2: ڈھلوان اور لکیری مساوات "رائیز اوور رن، بیگن اینڈ موو" ٹرک کے ساتھ (سوالات 13-24)

طلباء اکثر یہ ملا دیتے ہیں کہ y = mx + b میں کون سا نمبر کیا کرتا ہے۔ یہ چال اندازے کو دور کرتی ہے۔

چال: y = mx + b میں، "b" کے بارے میں سوچیں کہ آپ کہاں ہیں۔ شروع گراف پر (y-intercept) اور "m" جتنا آپ منتقل دائیں طرف ہر قدم کے لیے (ڈھلوان)۔ دو پوائنٹس سے ڈھلوان تلاش کرنے کے لیے، افقی تبدیلی (رن) کے اوپر عمودی تبدیلی (اضافہ) کو شمار کریں۔

سوال 13: پوائنٹس (2، 3) اور (6، 11) کے درمیان ڈھلوان تلاش کریں

1 مرحلہ: اضافہ تلاش کریں (y میں تبدیلی): 11 – 3 = 8

2 مرحلہ: رن تلاش کریں (x میں تبدیلی): 6 – 2 = 4

3 مرحلہ: رن کے حساب سے عروج کو تقسیم کریں: 8/4

جواب: ڈھلوان = 2

سوال 14: ڈھلوان 3 کے ساتھ لائن کی مساوات لکھیں جو (0، 5) سے شروع ہوتی ہے۔

1 مرحلہ: "شروع" آپ کو بتاتا ہے b، y-intercept: b = 5

2 مرحلہ: "حرکت" آپ کو بتاتا ہے m، ڈھلوان: m = 3

3 مرحلہ: دونوں کو y = mx + b میں لگائیں۔

جواب: y = 3x + 5

سوال 15: لائن 2x + 4y = 8 کی ڈھلوان معلوم کریں۔

1 مرحلہ: y = mx + b فارم میں دوبارہ ترتیب دیں۔ 2x بھر میں منتقل کریں (یہ -2x پر پلٹ جاتا ہے)۔ 4y = -2x + 8

2 مرحلہ: ہر اصطلاح کو 4 سے تقسیم کریں۔ y = -0.5x + 2

جواب: ڈھلوان = -0.5

سوال 16: کیا پوائنٹس (1، 2)، (3، 6) اور (5، 10) ایک ہی سیدھی لائن پر ہیں؟

1 مرحلہ: پہلے دو پوائنٹس کے درمیان ڈھلوان تلاش کریں: (6 – 2) / (3 – 1) = 4 / 2 = 2

2 مرحلہ: دوسرے دو پوائنٹس کے درمیان ڈھلوان تلاش کریں: (10 – 6) / (5 – 3) = 4 / 2 = 2

3 مرحلہ: دونوں ڈھلوان مماثل ہیں، لہذا پوائنٹس ایک ہی شرح پر منتقل ہوتے ہیں۔

جواب: جی ہاں، تینوں نکات ایک ہی لائن پر ہیں۔

اب ان کو خود آزمائیں

#	س	کا جواب
17	(0, 0) اور (4, 8) کے درمیان ڈھلوان تلاش کریں	ڈھلوان = 2
18	ڈھلوان -2 کے ساتھ مساوات لکھیں، شروع کریں (0، 7)	y = -2x + 7
19	y = 4x – 9 کی ڈھلوان تلاش کریں۔	ڈھلوان = 4
20	y = -3x + 10 کا y-intercept تلاش کریں۔	y-انٹرسیپٹ = 10
21	(-2، 5) اور (2، 13) کے درمیان ڈھلوان تلاش کریں	ڈھلوان = 2
22	کیا (2, 5) لائن y = 2x + 1 پر پڑا ہے؟	ہاں، چونکہ 2(2)+1 = 5
23	b تلاش کریں اگر ڈھلوان 5 والی لائن (1، 9) سے گزرتی ہے	b = 4۔
24	افقی لکیر y = 7 کی ڈھلوان تلاش کریں۔	ڈھلوان = 0

موضوع 3: "ضرب اور اضافہ" کی چال کے ساتھ فیکٹرنگ کواڈراٹکس (سوالات 25-36)

جب تک آپ کے پاس سسٹم نہ ہو فیکٹرنگ قیاس آرائی کی طرح محسوس ہوتی ہے۔ یہ آپ کو نظر آنے والے تقریباً ہر سادہ چوکور کے لیے کام کرتا ہے۔

چال: x² + bx + c کے لیے، دو عدد تلاش کریں جو c دینے کے لیے ضرب کریں اور b دینے کے لیے جوڑیں۔ وہ دو نمبر سیدھے آپ کے بریکٹ میں جاتے ہیں۔

سوال 25: فیکٹر x² + 7x + 12

1 مرحلہ: 12 کے فیکٹر جوڑوں کی فہرست بنائیں: (1,12), (2,6), (3,4)

2 مرحلہ: وہ جوڑا تلاش کریں جو 7:3 اور 4 میں اضافہ کرے۔

3 مرحلہ: ان دو نمبروں کا استعمال کرتے ہوئے بریکٹ لکھیں۔

جواب: (x + 3) (x + 4)

سوال 26: حل کریں x² – 5x + 6 = 0

1 مرحلہ: دو نمبر تلاش کریں جو 6 سے ضرب کریں اور -5: -2 اور -3 میں شامل کریں۔

2 مرحلہ: فیکٹرڈ فارم لکھیں۔ (x – 2) (x – 3) = 0

3 مرحلہ: ہر بریکٹ کو صفر کے برابر سیٹ کریں اور حل کریں۔

جواب: x = 2 یا x = 3

سوال 27: فیکٹر x² – 9

1 مرحلہ: اسے "مربع کے فرق" پیٹرن کے طور پر پہچانیں: a² - b² = (a - b) (a + b)

2 مرحلہ: یہاں، a = x اور b = 3، چونکہ 3² = 9 ہے۔

جواب: (x - 3) (x + 3)

سوال 28: چوکور فارمولے کا استعمال کرتے ہوئے x² + 2x – 8 = 0 کو حل کریں۔

1 مرحلہ: شناخت کریں a = 1، b = 2، c = -8، پھر استعمال کریں x = (-b ± √(b² – 4ac)) / 2a

2 مرحلہ: امتیاز کا حساب لگائیں: b² – 4ac = 4 – 4(1)(-8) = 4 + 32 = 36

3 مرحلہ: 36 کا مربع جڑ لیں، جو کہ 6 ہے، پھر فارمولے میں لگائیں۔ x = (-2 ± 6) / 2

جواب: x = 2 یا x = -4

اب ان کو خود آزمائیں

#	س	کا جواب
29	فیکٹر x² + 5x + 6	(x + 2)(x + 3)
30	فیکٹر x² – x – 6	(x – 3)(x + 2)
31	حل کریں x² – 16 = 0	x = 4 یا x = -4
32	فیکٹر x² + 9x + 20	(x + 4)(x + 5)
33	حل کریں x² + 3x – 10 = 0	x = 2 یا x = -5
34	فیکٹر x² – 4x + 4	(x – 2)²
35	حل کریں 2x² – 8 = 0	x = 2 یا x = -2
36	فیکٹر x² – 25	(x – 5)(x + 5)

موضوع 4: "اسپاٹ دی ٹرپل" ٹرک کے ساتھ دائیں زاویہ مثلث (سوالات 37-48)

مثلثیات کو بری شہرت ملتی ہے، لیکن جب آپ جان لیں کہ کیا تلاش کرنا ہے تو اس میں سے زیادہ تر پیٹرن کی پہچان ہے۔

چال: نمبروں کے کچھ سیٹ، جنہیں پائتھاگورین ٹرپل کہتے ہیں، ہمیشہ ایک صحیح مثلث بناتے ہیں: 3-4-5، 5-12-13، 8-15-17، اور ان کے ملٹیلز (جیسے 6-8-10)۔ اگر آپ کو ایک نظر آتا ہے، تو آپ پائتھاگورین تھیوریم کیلکولیشن کو مکمل طور پر چھوڑ سکتے ہیں۔

سوال 37: ایک دائیں مثلث کی ٹانگیں 6 اور 8 ہیں۔ فرضی تصور تلاش کریں۔

1 مرحلہ: نوٹ کریں کہ 6 اور 8 ڈبل 3 اور 4 ہیں، 3-4-5 ٹرپل کا ایک ضرب۔

2 مرحلہ: فرضی 5 ڈبل ہونا ضروری ہے۔

جواب: hypotenuse = 10

سوال 38: بغیر کیلکولیٹر کے گناہ (30°) تلاش کریں۔

1 مرحلہ: خصوصی 30-60-90 مثلث کو یاد کریں، جہاں اطراف ہمیشہ 1 : √3 : 2 کے تناسب میں ہوتے ہیں۔

2 مرحلہ: Sine hypotenuse کے مخالف ہے۔ 30 ° زاویہ کے لئے، مخالف سمت 1 ہے اور فرضی 2 ہے.

جواب: گناہ (30°) = 1/2

سوال 39: ایک سیڑھی دیوار سے 12 میٹر اوپر پہنچتی ہے، اس کی بنیاد دیوار سے 5 میٹر ہوتی ہے۔ سیڑھی کی لمبائی معلوم کریں۔

1 مرحلہ: 5 اور 12 کو ایک پائیتھاگورین ٹرپل کے طور پر پہچانیں: 5-12-13۔

2 مرحلہ: لاپتہ پہلو (سیڑھی، جو فرضی ہے) 13 ہے۔

جواب: سیڑھی کی لمبائی = 13 میٹر

سوال 40: زاویہ A تلاش کریں اگر ٹین (A) = 1

1 مرحلہ: خصوصی زاویوں کو یاد کریں: ٹین(0°) = 0، ٹین(30°) ≈ 0.577، ٹین(45°) = 1، ٹین(60°) ≈ 1.73۔

2 مرحلہ: tan(A) = 1 کو اس خاص زاویے سے جوڑیں جہاں یہ سچ ہے۔

جواب: A = 45°

اب ان کو خود آزمائیں

#	س	کا جواب
41	ٹانگیں 9 اور 12 کے ساتھ دائیں مثلث کا فرضی نشان تلاش کریں۔	15
42	cos(60°) تلاش کریں	0.5
43	ٹانگیں 7 اور 24 کے ساتھ دائیں مثلث کا فرضی نشان تلاش کریں۔	25
44	گناہ تلاش کریں (90°)	1
45	ٹین تلاش کریں (30°)	. 0.577
46	ٹانگیں 8 اور 15 کے ساتھ دائیں مثلث کا فرضی نشان تلاش کریں۔	17
47	cos(0°) تلاش کریں	1
48	زاویہ A تلاش کریں اگر sin(A) = 0.5	A = 30°

موضوع 5: "ضرب جوڑ، تقسیم منہا" کے ساتھ وضاحتی قوانین (سوالات 49-60)

ایکسپوننٹ قواعد حفظ کرنے کے لیے ایک لمبی فہرست کی طرح نظر آتے ہیں، لیکن جب آپ پیٹرن کو دیکھتے ہیں تو وہ ایک خیال میں سمٹ جاتے ہیں۔

چال: جب بنیادیں آپس میں ملتی ہیں، ضرب کا مطلب ہے کہ آپ ایکسپوننٹ کو جوڑتے ہیں، تقسیم کرنے کا مطلب ہے کہ آپ انہیں گھٹاتے ہیں، اور کسی طاقت کو دوسری طاقت پر اٹھانے کا مطلب ہے کہ آپ ان کو ضرب دیتے ہیں۔

سوال 49: آسان بنائیں (2³)(2⁴)

1 مرحلہ: بنیادیں مماثل ہیں (دونوں 2 ہیں)، اور آپریشن ضرب ہے، اس لیے ایکسپوننٹ شامل کریں۔ 2^(3+4) = 2^7

جواب: 128

سوال 50: x⁵ / x² کو آسان بنائیں

1 مرحلہ: بنیادیں مماثل ہیں، اور آپریشن تقسیم ہے، اس لیے ایکسپوننٹ کو گھٹائیں۔ x^(5-2)

جواب: x³

سوال 51: آسان بنائیں (x³)²

1 مرحلہ: یہ ایک طاقت ہے جو دوسری طاقت کی طرف بڑھا دی گئی ہے، اس لیے ایکسپونٹس کو ضرب دیں۔ x^(3×2)

جواب: x⁶

سوال 52: x: 3^x = 81 کے لیے حل کریں۔

1 مرحلہ: 81 کو 3 کی طاقت کے طور پر دوبارہ لکھیں: 81 = 3 × 3 × 3 × 3 = 3⁴

2 مرحلہ: چونکہ اب بنیادیں مماثل ہیں، اس لیے ایکسپوننٹ برابر ہونے چاہئیں۔

جواب: x = 4

اب ان کو خود آزمائیں

#	س	کا جواب
53	آسان بنائیں (5²)(5³)	5⁵ = 3125
54	x⁷ / x³ کو آسان بنائیں	x⁴
55	آسان بنائیں (2²)³	64
56	x کے لیے حل کریں: 2^x = 32	X = 5
57	آسان بنائیں (3x²y)(4xy³)	12x³y⁴
58	x کے لیے حل کریں: 4^x = 64	X = 3
59	x⁶ / x² کو آسان بنائیں	x⁴
60	آسان بنائیں (x⁴)²	x⁸

موضوع 6: "لاگ صرف ایک سوال پوچھ رہا ہے" کے ساتھ لوگاریتھمز (سوالات 61-72)

لوگاریتھمز بنیادی طور پر طلباء کو الجھا دیتے ہیں کیونکہ اشارے خوفزدہ نظر آتے ہیں۔ اس کے نیچے نظریہ سادہ ہے۔

چال: log_b(x) صرف پوچھ رہا ہے، "x حاصل کرنے کے لیے میں b کو کس طاقت میں اضافہ کروں؟" کچھ اور کرنے سے پہلے لاگ کے ہر سوال کو اس سادہ انگریزی سوال کے طور پر دوبارہ لکھیں۔

سوال 61: لاگ ₂(8) کا اندازہ کریں

1 مرحلہ: سوال پوچھیں: 2 کو کیا طاقت 8 دیتی ہے؟

2 مرحلہ: 2³ = 8، تو طاقت 3 ہے۔

جواب: 3

سوال 62: لاگ(x) = 2 حل کریں (بنیاد 10 فرض کیا جاتا ہے جب کوئی بنیاد نہیں لکھی جاتی ہے)

1 مرحلہ: سوال پوچھیں: 10 کو کس طاقت سے بڑھایا جاتا ہے؟ طاقت 2 ہے۔

2 مرحلہ: تو x = 10²

جواب: x = 100

سوال 63: log₃(x) = 2 حل کریں۔

1 مرحلہ: سوال پوچھیں: 3 کو کس طاقت سے بڑھایا جاتا ہے؟ طاقت 2 ہے۔

2 مرحلہ: تو x = 3² = 9

جواب: x = 9

سوال 64: لاگ (100) + لاگ (10) کو آسان بنائیں

1 مرحلہ: log(100) پوچھتا ہے: 10 کس طاقت کو 100 دیتا ہے؟ جواب: 2۔

2 مرحلہ: log(10) پوچھتا ہے: 10 کس طاقت کو 10 دیتا ہے؟ جواب: 1۔

3 مرحلہ: دونوں جوابات ایک ساتھ شامل کریں۔

جواب: 3

اب ان کو خود آزمائیں

#	س	کا جواب
65	لاگ ₅(25) کا اندازہ کریں	2
66	لاگ ₂(16) کا اندازہ کریں	4
67	لاگ کا اندازہ کریں (1000)	3
68	لاگ ₄(64) کا اندازہ کریں	3
69	لاگ ₃(27) کا اندازہ کریں	3
70	لاگ کا اندازہ کریں (10000)	4
71	لاگ ₂(1) کا اندازہ کریں	0
72	لاگ ₇(49) کا اندازہ کریں	2

موضوع 7: مشتقات جس میں "اسے نیچے لائیں، پھر اسے ختم کریں" چال (سوالات 73-84)

کیلکولس کاغذ پر خوفناک لگتا ہے، لیکن آپ جو پہلا اصول سیکھتے ہیں وہ تقریباً تمام کام کرتا ہے۔

چال: f(x) = xⁿ کے لیے، ایکسپوننٹ کو ایک ضرب کے طور پر سامنے لائیں، پھر ایک کو ایکسپوننٹ سے گھٹائیں۔ کوئی بھی سادہ عدد اپنے طور پر (ایک مستقل) صرف غائب ہو جاتا ہے، کیونکہ فلیٹ نمبر کی کوئی ڈھلوان نہیں ہوتی۔

سوال 73: f(x) = x³ کا مشتق تلاش کریں۔

1 مرحلہ: 3 کو سامنے سے نیچے لائیں، پھر ایک کو ایکسپوننٹ سے گھٹائیں۔ 3x^(3-1)

جواب: f'(x) = 3x²

سوال 74: f(x) = 5x² + 3x کا مشتق تلاش کریں۔

1 مرحلہ: ہر اصطلاح پر الگ الگ چال کا اطلاق کریں۔ 5x² کے لیے، 2 کو نیچے لائیں اور اسے 5:10x^(2-1) سے ضرب دیں۔

2 مرحلہ: 3x کے لیے (جو واقعی 3x¹ ہے)، 1 کو نیچے لائیں: 3x^(1-1) = 3x⁰ = 3

جواب: f'(x) = 10x + 3

سوال 75: f(x) = x⁴ – 2x² + 7 کا مشتق تلاش کریں

1 مرحلہ: چال کو x⁴: 4x³ پر لاگو کریں۔

2 مرحلہ: چال کو -2x²: -4x پر لاگو کریں۔

3 مرحلہ: مستقل 7 مکمل طور پر غائب ہو جاتا ہے، کیونکہ مستقل کی کوئی ڈھلوان نہیں ہوتی۔

جواب: f'(x) = 4x³ – 4x

سوال 76: f(x) = 1/x کا مشتق تلاش کریں۔

1 مرحلہ: 1/x کو x⁻¹ کے طور پر دوبارہ لکھیں، لہذا چال اب بھی لاگو ہوتی ہے۔

2 مرحلہ: -1 کو نیچے لائیں اور ایک کو ایکسپوننٹ سے گھٹائیں: -1x^(-1-1) = -1x⁻²

جواب: f'(x) = -1/x²

اب ان کو خود آزمائیں

#	س	کا جواب
77	f(x) = x⁵ کا مشتق تلاش کریں۔	f'(x) = 5x⁴
78	f(x) = 3x³ – 2x کا مشتق تلاش کریں۔	f'(x) = 9x² – 2
79	f(x) = 7 کا مشتق تلاش کریں۔	f'(x) = 0
80	f(x) = x² + 4x + 9 کا مشتق تلاش کریں۔	f'(x) = 2x + 4
81	f(x) = 2x⁴ کا مشتق تلاش کریں۔	f'(x) = 8x³
82	f(x) = x⁻² کا مشتق تلاش کریں۔	f'(x) = -2x⁻³
83	f(x) = 6x کا مشتق تلاش کریں۔	f'(x) = 6
84	f(x) = x³ + x² + x + 1 کا مشتق تلاش کریں۔	f'(x) = 3x² + 2x + 1

موضوع 8: "شیئر، لائن اپ، سب سے زیادہ مقبول" چال کے ساتھ اوسط، درمیانی، موڈ، اور امکان (سوالات 85-96)

اعداد و شمار کے سوالات الجبرا سے مختلف نظر آتے ہیں، لیکن ہر پیمائش میں ایک سادہ انگریزی کام ہوتا ہے۔

چال: مطلب کا مطلب ہے۔ برابر شیئر کریں سب کے درمیان. درمیانی مطلب سب کو قطار میں لگائیں اور درمیانی تلاش کریں۔ موڈ کا مطلب ہے۔ سب سے زیادہ مقبول قدر امکان کا مطلب ہمیشہ ہوتا ہے۔ سازگار نتائج کو کل نتائج سے تقسیم کیا گیا ہے۔.

سوال 85: 4، 8، 6، 10، 12 کا مطلب معلوم کریں۔

1 مرحلہ: تمام قدریں شامل کریں: 4 + 8 + 6 + 10 + 12 = 40

2 مرحلہ: کتنی قدریں ہیں اس سے تقسیم کریں: 40/5

جواب: اوسط = 8

سوال 86: 3، 7، 9، 12، 15 کا میڈین تلاش کریں۔

1 مرحلہ: اقدار پہلے سے ترتیب میں ہیں، اور ان میں سے 5 ہیں (ایک طاق عدد)۔

2 مرحلہ: درمیانی قدر، تیسرا، میڈین ہے۔

جواب: میڈین = 9

سوال 87: 8، 3، 10، 6 کا میڈین تلاش کریں۔

1 مرحلہ: ترتیب سے ترتیب دیں: 3، 6، 8، 10۔ 4 قدریں ہیں (ایک مساوی نمبر)۔

2 مرحلہ: دو درمیانی قدروں کا اوسط: (6 + 8) / 2

جواب: میڈین = 7

سوال 88: معیاری چھ طرفہ ڈائی پر 4 کو رول کرنے کا امکان تلاش کریں۔

1 مرحلہ: سازگار نتائج کو شمار کریں: صرف ایک طرف 4 دکھاتا ہے۔

2 مرحلہ: کل نتائج شمار کریں: کل 6 اطراف۔

جواب: احتمال = 1/6

اب ان کو خود آزمائیں

#	س	کا جواب
89	2، 4، 6، 8، 10 کا مطلب تلاش کریں۔	6
90	1، 2، 3، 4، 5، 6 کا میڈین تلاش کریں۔	3.5
91	2، 3، 3، 5، 7، 3، 8 کا موڈ تلاش کریں۔	3
92	منصفانہ سکے پر سر پلٹنے کا امکان تلاش کریں۔	1/2
93	10، 20، 30 کا مطلب تلاش کریں۔	20
94	5، 9، 2، 8، 1 کا میڈین تلاش کریں۔	5
95	معیاری ڈیک سے اککا کھینچنے کا امکان تلاش کریں۔	1/13
96	100، 200، 300، 400 کا مطلب تلاش کریں۔	250

بونس راؤنڈ: ترکیبیں ایک ساتھ ملانا (سوالات 97-100)

اصلی ٹیسٹ شاذ و نادر ہی فی سوال ایک موضوع پر قائم رہتے ہیں۔ یہ آخری چند ایک ساتھ دو چالوں کو یکجا کرتے ہیں، جو بالکل وہی مہارت ہے جو ایک مضبوط ٹیسٹ سکور کو اوسط سے الگ کرتی ہے۔

سوال 97: حل کریں 2(x + 3)² = 32 برائے x

1 مرحلہ: 2 کو "move and flip" کا استعمال کرتے ہوئے اس پار منتقل کریں۔ یہ تقسیم ہو جاتا ہے۔ (x + 3)² = 16

2 مرحلہ: دونوں اطراف کا مربع جڑ لیں۔ مثبت اور منفی جڑ دونوں کو یاد رکھیں۔ x + 3 = ±4

3 مرحلہ: دونوں صورتوں کو الگ الگ حل کریں: x + 3 = 4 دیتا ہے x = 1، اور x + 3 = -4 دیتا ہے x = -7۔

جواب: x = 1 یا x = -7

سوال 98: فیکٹر اور حل کریں x² – 2x – 15 = 0

1 مرحلہ: دو عدد تلاش کریں جو -15 سے ضرب کریں اور -2: -5 اور 3 میں شامل کریں۔

2 مرحلہ: فیکٹرڈ فارم لکھیں اور ہر بریکٹ کو حل کریں۔ (x – 5)(x + 3) = 0

جواب: x = 5 یا x = -3

اب ان کو خود آزمائیں

#	س	کا جواب
99	3x + y = 9 کی ڈھلوان اور y-انٹرسیپٹ تلاش کریں۔	ڈھلوان = -3، y-انٹرسیپٹ = 9
100	دو ڈائس کے ساتھ 7 کی رقم کو رول کرنے کا امکان تلاش کریں۔	1/6 (36 میں سے 6 سازگار نتائج)

کیوں چالیں یاد کرنے کے مراحل سے بہتر کام کرتی ہیں۔

ایک چال کام کرتی ہے کیونکہ یہ آپ کو دس منقطع قدموں کی بجائے ایک آئیڈیا دیتی ہے۔ اسٹینفورڈ کے تعلیمی محقق جو بوئلر کے ریاضی کی ذہنیت پر کام نے پایا کہ جو طلباء شارٹ کٹ کے پیچھے استدلال کو سمجھتے ہیں وہ ان طلباء کے مقابلے میں زیادہ دیر تک برقرار رہتے ہیں جو یہ جانے بغیر کہ یہ کیوں کام کرتا ہے کسی طریقہ کار کو حفظ کرتے ہیں۔

بچنے کے لیے ایک غلطی: یہ سمجھے بغیر کہ یہ کیوں کام کرتی ہے۔ اگر آپ یہ جانے بغیر کہ یہ بار بار ہونے والے ضرب سے آتا ہے صرف "ضعیف کو جوڑتا ہے" حفظ کرتے ہیں، تو آپ اسے اس لمحے بھول جائیں گے جب سوال تھوڑا سا مختلف نظر آئے گا۔

عام غلطیاں طالب علم اس وقت بھی کرتے ہیں جب وہ چال جانتے ہیں۔

• ایک مربع پر مشتمل مساوات کو حل کرتے وقت منفی جڑ کو بھول جانا، جیسے صرف +4 کی بجائے x + 3 = ±4۔
• کسی ایسے سوال پر ایک چال کا استعمال کرنا جس کے لیے اس کا مقصد کبھی نہیں تھا، جیسے کسی تثلیث پر مربعوں کے فرق کا استعمال کرنا جو اس سے مطابقت نہیں رکھتا۔
• کسی چال کے "کیوں" سے گزرنا اور صرف "کیا" کو یاد کرنا جو ایک انجان سوال پر الگ ہوجاتا ہے۔
• جب کوئی سوال خاص طور پر "درمیانی" قدر کے بارے میں پوچھتا ہے تو درمیانی اور اوسط کو ملانا۔
• یہ بھول جانا کہ مشتق تلاش کرتے وقت مستقل غائب ہوجاتا ہے، اور غلطی سے اسے جواب میں چھوڑ دیتا ہے۔

نتیجہ

ریاضی سے نفرت کو روکنے کا تیز ترین طریقہ یہ ہے کہ ہر سوال کو بالکل نیا سمجھنا بند کر دیا جائے۔ 100 مختلف نظر آنے والے مسائل کے نیچے صرف 8 بنیادی آئیڈیاز ہیں، اور ایک بار ایک چال پر کلک کرنے کے بعد، سوالات کی پوری قسمیں ایک ہی وقت میں آسان ہو جاتی ہیں۔ یہاں کسی بھی سیکشن پر دوبارہ جائیں جہاں آپ کو 2 سے زیادہ پریکٹس سوالات غلط ملے، اور آگے بڑھنے سے پہلے نمایاں کردہ مثالوں پر دوبارہ کام کریں۔

اگر آپ کے بچے کو ان چالوں کو مستقل ٹیسٹ کے نتائج میں تبدیل کرنے کے لیے ون آن ون مدد کی ضرورت ہے، USCA اکیڈمی مسی ساگا میں کریڈٹ کورسز ان موضوعات میں سے ہر ایک کا احاطہ کریں۔ گریڈ 9 کے ذریعے گریڈ 12, چھوٹی کلاسوں کے ساتھ بالکل اس قسم کی چال - پہلی تعلیم۔ داخلوں کے لیے درخواست دیں۔ صحیح کورس کی سطح سے مماثل ہونے کے لیے۔

اکثر پوچھے گئے سوالات