किसी डेटा सेट में संख्याओं को सबसे छोटी से सबसे बड़ी के क्रम में व्यवस्थित करने पर प्राप्त मध्य मान को माध्यिका कहते हैं। यदि डेटा सेट में विषम संख्या में मान हैं, तो माध्यिका मध्य की एकमात्र संख्या होती है। यदि सम संख्या में मान हैं, तो माध्यिका मध्य की दो संख्याओं का औसत होती है। राष्ट्रीय स्वास्थ्य संस्थान (NIH) द्वारा प्रकाशित शोध के अनुसार, माध्यिका वह मान है जिस पर पचास प्रतिशत प्रेक्षण इसके बराबर या इससे नीचे आते हैं, जिससे यह एक परिकलित औसत के बजाय स्थिति का माप बन जाता है। माध्यिका विषम मानों या विषम वितरण वाले डेटा के लिए सबसे उपयुक्त होती है, लेकिन मानक विचलन जैसी बीजगणितीय गणनाओं के लिए यह माध्य की तुलना में कम उपयोगी होती है।

मुख्य बिंदु: गणित में माध्यिका क्या है?

• माध्यिका किसी क्रमबद्ध डेटा सेट का मध्य मान होता है, और राष्ट्रीय स्वास्थ्य संस्थान द्वारा प्रकाशित सांख्यिकीय शोध के अनुसार यह 50वें प्रतिशतक को दर्शाता है।
• विषम संख्याओं के लिए, माध्यिका एक विशिष्ट संख्या होती है। सम संख्याओं के लिए, यह बीच की दो संख्याओं का औसत होती है।
• माध्यिका, औसत की तुलना में असामान्य मानों से होने वाली विकृति का बेहतर प्रतिरोध करती है, यही कारण है कि घरेलू आय जैसे आंकड़ों को रिपोर्ट करने के लिए इसे मानक विकल्प माना जाता है।
• ओंटारियो के ग्रेड 12 डेटा मैनेजमेंट पाठ्यक्रम (MDM4U) में माध्यिका को केंद्रीय प्रवृत्ति के तीन मुख्य मापों में से एक के रूप में शामिल किया गया है, जो माध्य और बहुलक के साथ-साथ चलता है।
• माध्यिका का उपयोग विचरण की तरह आगे की बीजगणितीय गणनाओं में नहीं किया जा सकता है, जिस तरह माध्य का उपयोग किया जा सकता है, जो इसकी मुख्य सीमाओं में से एक है।

गणित में माध्यिका: इसका अर्थ और इसे ज्ञात करने का तरीका

गणित में माध्यिका किसी डेटा सेट का मध्य मान होता है, जब आप प्रत्येक संख्या को सबसे छोटी से सबसे बड़ी संख्या के क्रम में व्यवस्थित करते हैं। यदि आपके डेटा सेट में विषम संख्या में मान हैं, तो माध्यिका ठीक मध्य संख्या होती है। यदि इसमें सम संख्या में मान हैं, तो माध्यिका ज्ञात करने के लिए आप मध्य की दो संख्याओं का औसत निकालते हैं।

यह एक परिभाषा बताती है कि माध्यिका औसत से अलग व्यवहार क्यों करती है। माध्यिका केवल क्रमबद्ध सूची में उसकी स्थिति पर ध्यान देती है। उसे चरम मानों के आकार से कोई फर्क नहीं पड़ता, और यही कारण है कि वह माध्य की तुलना में विरूपण का बेहतर प्रतिरोध करती है।

यह वास्तविक दुनिया के डेटा के लिए महत्वपूर्ण है। राष्ट्रीय स्वास्थ्य संस्थान द्वारा प्रकाशित केंद्रीय प्रवृत्ति के मापों पर शोध से पता चलता है कि किसी वितरण में पचास प्रतिशत अवलोकन माध्यिका के बराबर या उससे नीचे होते हैं, जिससे यह सांख्यिकीविदों द्वारा गणना किए गए औसत के बजाय स्थितिजन्य औसत कहलाता है। हाई स्कूल गणित पाठ्यक्रम मार्गदर्शिका यह दर्शाता है कि सांख्यिकी का यह विषय ओंटारियो गणित के व्यापक पाठ्यक्रम में कहाँ फिट बैठता है।

चरण दर चरण माध्यिका कैसे ज्ञात करें

डेटा सेट में संख्याओं की संख्या कितनी भी हो, माध्यिका ज्ञात करने की प्रक्रिया हमेशा एक ही दो चरणों वाली होती है।

चरण 1: संख्याओं को क्रम में व्यवस्थित करें। सभी मानों को सबसे छोटे से सबसे बड़े क्रम में सूचीबद्ध करें। इस चरण को छोड़ना माध्यिका त्रुटियों का सबसे आम कारण है, क्योंकि सूची को क्रमबद्ध करने के बाद ही स्थिति का महत्व समझ में आता है।

चरण 2: मध्य स्थिति ज्ञात कीजिए।

• यदि डेटा सेट में विषम संख्या में मान हैं, तो माध्यिका ठीक बीच में स्थित एकमात्र संख्या होती है।
• यदि डेटा सेट में मानों की संख्या सम है, तो माध्यिका बीच की दो संख्याओं का औसत होती है।

विषम डेटा सेट के साथ हल किया गया उदाहरण: 7, 2, 9, 4, 5 की माध्यिका ज्ञात कीजिए।

1. क्रम में व्यवस्थित करें: 2, 4, 5, 7, 9.
2. मानों की गणना करें: कुल 5, एक विषम संख्या।
3. मध्य स्थान तीसरा मान है: 5.
4. माध्यिका 5 है।

सम संख्या वाले डेटा सेट के साथ उदाहरण: 8, 3, 10 और 6 की माध्यिका ज्ञात कीजिए।

1. क्रम में व्यवस्थित करें: 3, 6, 8, 10.
2. मानों की गणना करें: कुल 4, एक सम संख्या।
3. दो मध्य मान 6 और 8 हैं।
4. उनका औसत निकालें: (6 + 8) / 2 = 7.
5. माध्यिका 7 है।

माध्यिका, माध्य और बहुलक: इनमें क्या अंतर है?

केंद्रीय प्रवृत्ति के ये तीनों माप डेटा सेट के "केंद्र" का वर्णन करते हैं, लेकिन वे थोड़े अलग सवालों के जवाब देते हैं और आउटलायर्स के आसपास अलग तरह से व्यवहार करते हैं।

एक उदाहरण जो इस अंतर को स्पष्ट रूप से दर्शाता है: 40,000 डॉलर, 42,000 डॉलर, 45,000 डॉलर, 48,000 डॉलर और 500,000 डॉलर के वेतन पर विचार करें।

• औसत राशि 135,000 डॉलर है, जो किसी भी कर्मचारी के वास्तविक वेतन को नहीं दर्शाती है।
• औसत वेतन 45,000 डॉलर है, जो एक सामान्य कर्मचारी के वेतन को कहीं अधिक सटीक रूप से दर्शाता है।

यही कारण है कि सरकारी एजेंसियां ​​और शोधकर्ता आमतौर पर औसत आय के बजाय मध्यिका घरेलू आय की रिपोर्ट करते हैं। बहुत कम संख्या में अत्यधिक आय वाले लोग औसत को एक सामान्य परिवार की वास्तविक आय से काफी दूर ले जाते हैं।

वास्तविक डेटा में माध्यिका का महत्व क्यों है, न कि केवल पाठ्यपुस्तकों में।

गणित की कक्षा के बाहर भी माध्यिका लगातार दिखाई देती है, ऐसी जगहों पर जहां छात्र हमेशा इसे अपने सांख्यिकी इकाई से नहीं जोड़ पाते हैं।

वास्तविक दुनिया में माध्यिका के सामान्य उपयोग:

• किसी शहर में घरों की औसत कीमत, क्योंकि कुछ करोड़ों डॉलर की संपत्तियां औसत को विकृत कर सकती हैं।
• कक्षा में प्राप्त औसत परीक्षा अंक, जो एक बहुत उच्च या निम्न अंक के कारण समग्र स्थिति में विकृति पैदा किए बिना सामान्य प्रदर्शन का वर्णन करते हैं।
• ग्राहक सेवा डेटा में औसत प्रतिक्रिया समय, जहां कुछ बेहद लंबे समय तक चलने वाली असामान्य कॉल औसत को विकृत कर सकती हैं।
• किसी जनसंख्या की औसत आयु, राष्ट्रीय जनगणना एजेंसियों द्वारा उपयोग किया जाने वाला एक मानक जनसांख्यिकीय आँकड़ा है।

एक महत्वपूर्ण समझौता जिसे जानना आवश्यक है: माध्यिका का उपयोग आगे की गणनाओं में माध्य की तुलना में अधिक कठिन होता है। आप माध्यिका का उपयोग सीधे विचरण या मानक विचलन की गणना के लिए नहीं कर सकते, जिस तरह आप माध्य का उपयोग करके कर सकते हैं, जो उन्नत सांख्यिकी में इसके उपयोग को सीमित करता है।

आवृत्ति सारणी या समूहीकृत डेटा में माध्यिका ज्ञात करना

वास्तविक डेटा सेट को अक्सर एक साधारण सूची के बजाय आवृत्ति तालिका के रूप में प्रस्तुत किया जाता है, विशेष रूप से ओंटारियो में। कक्षा 12 का डेटा प्रबंधन पाठ्यक्रम (MDM4U)जो हमारा MHF4U बनाम MDM4U गाइड एडवांस्ड फंक्शन्स ट्रैक से तुलना की जाती है। आवृत्ति सारणी से माध्यिका ज्ञात करने के लिए एक अतिरिक्त चरण की आवश्यकता होती है।

आवृत्ति सारणी बनाने के चरण:

1. सभी आवृत्तियों को जोड़कर डेटा बिंदुओं की कुल संख्या ज्ञात कीजिए।
2. विषम योग के लिए (n + 1) / 2 का उपयोग करके मध्य स्थिति की गणना करें, या सम योग के लिए दो मध्य स्थितियों की गणना करें।
3. आवृत्तियों को क्रमिक रूप से तब तक जोड़ते रहें जब तक आप उस स्थान तक न पहुँच जाएँ जहाँ माध्यिका स्थित है।
4. संबंधित मान को पढ़ लें।

उदाहरण सहित: एक कक्षा के 20 छात्रों ने एक परीक्षा में निम्नलिखित अंक प्राप्त किए: 5 छात्रों ने 60 अंक, 8 छात्रों ने 70 अंक, 4 छात्रों ने 80 अंक और 3 छात्रों ने 90 अंक प्राप्त किए।

1. कुल विद्यार्थी: 20 (सम संख्या)।
2. मध्य स्थान: 10वां और 11वां मान।
3. संचयी संख्या: 5 (60 तक), 13 (70 तक), 17 (80 तक), 20 (90 तक)।
4. 10वां और 11वां दोनों मान "70" समूह के अंतर्गत आते हैं (क्योंकि वहां संचयी गणना 13 तक पहुंच जाती है)।
5. माध्यिका 70 है।

छात्र माध्यिका के साथ कौन सी सामान्य गलतियाँ करते हैं?

• डेटा सेट को पहले सॉर्ट करना भूल जाना, जिससे "मध्य" स्थिति अर्थहीन हो जाती है।
• सम संख्या वाले डेटा सेट के लिए गलत सूत्र का उपयोग करना, बीच के दो मानों का औसत निकालना भूल जाना।
• जब किसी प्रश्न में विशेष रूप से मध्य मान पूछा गया हो, तो माध्यिका को माध्य से भ्रमित करना।
• कुल मानों की गिनती में गलती होना, विशेषकर लंबे डेटा सेट में जहां संख्याएं दोहराई गई हों।
• समूहीकृत या आवृत्ति सारणी डेटा पर सरल सूची विधि लागू करना, जबकि इसके लिए संचयी आवृत्ति दृष्टिकोण की आवश्यकता होती है।

इनमें से अधिकांश गलतियाँ संख्याओं को क्रमबद्ध करने की उन आदतों से जुड़ी हैं जो सबसे पहले बनी थीं। कक्षा 9 गणितइसलिए, वहां एक त्वरित समीक्षा अक्सर बाद की कक्षाओं में बार-बार होने वाली औसत संबंधी त्रुटियों को दूर कर देती है।

माध्य की जगह माध्यिका का उपयोग कब करें

एक निर्णय ढांचा:

• यदि डेटा सेट में अत्यधिक असामान्य मान (बहुत अधिक या बहुत कम मान) हैं, तो माध्यिका का उपयोग करें।
• यदि डेटा सेट लगभग सममित है और उसमें कोई बड़ा आउटलायर नहीं है, तो माध्य और माध्यिका लगभग समान होंगे, और दोनों में से कोई भी मान्य है।
• यदि आपको मानक विचलन जैसी आगे की गणनाओं के लिए परिणाम की आवश्यकता है, तो माध्य का उपयोग करें, क्योंकि माध्यिका सीधे उन सूत्रों का समर्थन नहीं कर सकती है।
• यदि आप किसी "सामान्य" अनुभव का वर्णन कर रहे हैं, जैसे कि सामान्य आय या सामान्य घर की कीमत, तो माध्यिका आमतौर पर अधिक सटीक तस्वीर प्रदान करती है।

डेटा-आधारित विश्वविद्यालय कार्यक्रमों की ओर अग्रसर होने वाले छात्र अक्सर प्रथम वर्ष के सांख्यिकी पाठ्यक्रम में इस निर्णय पर पुनर्विचार करते हैं, यही कारण है कि यूएससीए अकादमी इसे पाठ्यक्रम में शामिल करती है। विश्वविद्यालय तैयारी कार्यक्रम इसे बारहवीं कक्षा के एक बार के विषय के रूप में छोड़ने के बजाय।

निष्कर्ष

माध्यिका आपको डेटा सेट का सही मध्य मान देती है, और माध्य के विपरीत, यह एक या दो चरम मानों से प्रभावित नहीं होती। डेटा को क्रमबद्ध करें, मध्य मान ज्ञात करें, और दो मध्य मानों का औसत निकालने के सम-संख्या नियम को याद रखें। यह कौशल सीधे ओंटारियो के कक्षा 12 के डेटा प्रबंधन पाठ्यक्रम और हाई स्कूल के बाद आपके सामने आने वाले किसी भी सांख्यिकी विषय में काम आएगा।

यदि आपका बच्चा MDM4U या सांख्यिकी के किसी पूर्व पाठ्यक्रम का अध्ययन कर रहा है और उसे केंद्रीय प्रवृत्ति के मापों के साथ संरचित, व्यक्तिगत सहायता की आवश्यकता है, तो USCA अकादमी आपकी सहायता कर सकती है। मिसिसॉगा में क्रेडिट पाठ्यक्रम इस विषय को कक्षा 12 के पाठ्यक्रम में शामिल करें। प्रवेश के लिए आवेदन करें सही पाठ्यक्रम स्तर से मिलान करने के लिए।

अक्सर पूछे जाने वाले प्रश्न