यह गाइड आपको कक्षा 9 से 12 तक के लिए 100 क्रमांकित गणित के प्रश्न और उत्तर प्रदान करती है, जिन्हें 34 पूर्णतः हल किए गए, चरण-दर-चरण उदाहरणों (बॉक्स में हाइलाइट किए गए) और 66 अतिरिक्त अभ्यास प्रश्नों और उत्तरों में विभाजित किया गया है। प्रत्येक विषय एक सरल युक्ति से शुरू होता है, उसे 3 से 4 हल किए गए उदाहरणों में दिखाया जाता है, और फिर आपको उसी युक्ति का उपयोग करके प्रयास करने के लिए और प्रश्न दिए जाते हैं। ये विषय (बीजगणित, ढलान, गुणनखंडन, त्रिकोणमिति, घातांक, लघुगणक, अवकलन और सांख्यिकी) वही मूलभूत हाई स्कूल गणित कौशल हैं जो अधिकांश देशों में पढ़ाए जाते हैं, चाहे आपके पाठ्यक्रम को ग्रेड 9-12, क्लास 9-12 या इयर्स 9-12 कहा जाए। यह तब सबसे अच्छा काम करता है जब आप उत्तर को जाँचने से पहले उसे ढक कर प्रत्येक प्रश्न को हल करने का प्रयास करें। इसका नुकसान यह है कि केवल हल किए गए उदाहरणों को पढ़ने से ही कौशल विकसित नहीं होगा; आपको अभ्यास प्रश्नों को स्वयं हल करना होगा।

गणित के प्रश्नों और उत्तरों की मुख्य विशेषताएं

• कुल 100 प्रश्न: हाइलाइट किए गए बॉक्स में दिखाए गए 34 पूरी तरह से हल किए गए, चरण-दर-चरण उदाहरण, साथ ही उत्तरों के साथ 66 अतिरिक्त अभ्यास प्रश्न, सभी 1 से 100 तक लगातार क्रमांकित हैं।
• प्रत्येक विषय अनुभाग में सबसे पहले एक यादगार युक्ति सिखाई जाती है, जैसे कि पाइथागोरस प्रमेय की गणना को पूरी तरह से छोड़ने के लिए 3-4-5 त्रिभुज पैटर्न को पहचानना।
• ये विषय (रैखिक समीकरण, गुणनखंडन, त्रिकोणमिति, फलन, लघुगणक, अवकलन और सांख्यिकी) कनाडा, अमेरिका, ब्रिटेन, भारत और ऑस्ट्रेलिया में कक्षा 9-12 के गणित पाठ्यक्रम में मानक हैं, बस इन्हें अलग-अलग पाठ्यक्रम नामों से पढ़ाया जाता है।
• स्टैनफोर्ड की शोधकर्ता जो बोएलर के गणितीय मानसिकता पर किए गए कार्य से पता चलता है कि छात्र सबसे तेजी से तब सुधार करते हैं जब वे किसी शॉर्टकट के पीछे के तर्क को देखते हैं, न कि केवल शॉर्टकट को।
• कोई भी तरकीब तभी कारगर होती है जब आप उसे किसी ऐसे प्रश्न पर आजमाते हैं जिसे आपने पहले कभी नहीं देखा हो, इसीलिए प्रत्येक अनुभाग के अंत में अभ्यास के लिए कुछ अनसुलझे प्रश्न और उनके उत्तर दिए गए हैं ताकि आप अपनी क्षमताओं का मूल्यांकन कर सकें।

गणित के 100 प्रश्न और उत्तर, चरण दर चरण हल किए गए, युक्तियों सहित।

अगर आपको लगता है कि आपको गणित से नफरत है, तो शायद किसी ने आपको कभी वह आसान तरीका नहीं बताया जिससे कोई विषय आसानी से समझ में आ जाए। एक शब्द के उत्तर वाले 100 प्रश्नों की सूची से आपको कुछ भी सीखने को नहीं मिलता। असल में जो तरीका काम करता है, वह है एक स्पष्ट तरकीब देखना, उसे किसी असली प्रश्न को हल करते हुए चरण-दर-चरण देखना और फिर जब तर्क अभी ताजा हो, तब उसे खुद आजमाना।

यह गाइड ठीक इसी तरह से बनाई गई है। इसमें हाई स्कूल गणित के आठ मुख्य विषय, प्रत्येक विषय के लिए एक ट्रिक, हाइलाइट किए गए बॉक्स में दिखाए गए प्रत्येक ट्रिक के 3 से 4 पूर्णतः हल किए गए उदाहरण और अभ्यास के लिए उत्तर सहित कई प्रश्न शामिल हैं ताकि आप स्वयं को परख सकें। हल किए गए उदाहरण और अभ्यास प्रश्न, सभी को 1 से 100 तक क्रमानुसार क्रमांकित किया गया है, ताकि कोई भी प्रश्न उत्तर कुंजी के पीछे छिपा न रहे।

ये विषय किसी एक देश के पाठ्यक्रम कोड से बंधे नहीं हैं। बीजगणित, रैखिक समीकरण, गुणनखंडन, त्रिकोणमिति, फलन और घातांक, लघुगणक, अवकलन और सांख्यिकी लगभग हर जगह कक्षा 9 से कक्षा 12 तक के गणित का आधार हैं, चाहे आपका विद्यालय इसे कक्षा 10 का गणित, दसवीं कक्षा का गणित या दसवीं कक्षा का गणित कहे। नाम बदलते हैं, लेकिन कौशल नहीं बदलते।

इस गाइड का असल में उपयोग कैसे करें

किसी हल किए गए उदाहरण को स्वयं हल करने से पहले पढ़ना प्रगति जैसा लगता है, लेकिन इससे कोई वास्तविक कौशल विकसित नहीं होता। उत्तर को ढक दें, तरकीब का उपयोग करके प्रश्न को हल करने का प्रयास करें, फिर अपने काम की जाँच करें।

प्रत्येक अनुभाग के लिए एक सरल प्रक्रिया:

1. इस तरकीब को ध्यान से पढ़ें और यह सुनिश्चित करें कि आप यह समझें कि यह कैसे काम करती है, न कि केवल इसमें क्या लिखा है।
2. उस अनुभाग में प्रश्न 1 के लिए हाइलाइट किए गए बॉक्स को ढकें और पहले इसे स्वयं हल करने का प्रयास करें।
3. अपने अंतिम अंक के साथ-साथ बॉक्स में दिए गए निर्देशों के अनुसार अपने चरणों की जांच करें।
4. क्रमांकित अभ्यास प्रश्नों पर जाएं और उत्तर जांचने से पहले उन सभी को हल करने का प्रयास करें।
5. यदि आपके 2 या अधिक उत्तर गलत हैं, तो ट्रिक को दोबारा पढ़ें और हाइलाइट किए गए हल किए गए उदाहरणों को एक बार फिर से हल करें, उसके बाद ही नए प्रश्नों को आजमाएं।

विषय 1: “घुमाने और पलटने” की तरकीब से समीकरणों को हल करना (प्रश्न 1-12)

अधिकांश छात्र समीकरणों को हल करना सीखने के लिए हर प्रकार की समस्या के चरणों को याद कर लेते हैं। लेकिन इसे करने का एक तेज़ तरीका भी है।

चाल: जब कोई पद बराबर के चिह्न को पार करता है, तो उसकी क्रिया उलट जाती है। जोड़ की क्रिया घटाव में बदल जाती है। गुणा की क्रिया भाग में बदल जाती है। बराबर के चिह्न को एक दर्पण की तरह समझें जो इसे पार करने वाली किसी भी चीज़ का चिह्न उलट देता है।

प्रश्न 1: x का मान ज्ञात कीजिए: 2x + 5 = 17

चरण १: +5, x के समान तरफ है। इसे बराबर के चिह्न के पार ले जाने पर यह -5 हो जाता है। 2x = 17 – 5

चरण १: दाहिनी ओर को सरल कीजिए। 2x = 12

चरण १: 2, x को गुणा कर रहा है। इसे दूसरी तरफ ले जाने पर यह भाग में बदल जाता है। x = 12 / 2

उत्तर: x = 6

प्रश्न 2: x का मान ज्ञात कीजिए: 3x – 7 = 2x + 5

चरण १: दाईं ओर से 2x को बाईं ओर ले जाएं। यह पलटकर -2x हो जाता है। 3x – 2x – 7 = 5

चरण १: बाएँ पक्ष को सरल कीजिए। x – 7 = 5

चरण १: -7 को दूसरी तरफ ले जाएं। यह पलटकर +7 हो जाएगा। x = 5 + 7

उत्तर: x = 12

प्रश्न 3: x का मान ज्ञात कीजिए: x/4 + 3 = 9

चरण १: +3 को दूसरी तरफ ले जाएं। यह पलटकर -3 हो जाएगा। x/4 = 9 – 3

चरण १: सरल कीजिए। x/4 = 6

चरण १: 4, x को विभाजित कर रहा है। इसे दूसरी तरफ ले जाने पर यह गुणा में बदल जाता है। x = 6 × 4

उत्तर: x = 24

प्रश्न 4: x का मान ज्ञात कीजिए: 5(x – 2) = 25

चरण १: कुछ भी हिलाने से पहले कोष्ठक खोलें। 5x – 10 = 25

चरण १: -10 को दूसरी तरफ ले जाएं। यह पलटकर +10 हो जाएगा। 5x = 25 + 10

चरण १: सरल करें, फिर भाग के रूप में 5 को दूसरी तरफ ले जाएं। 5x = 35 x = 35 / 5

उत्तर: x = 7

अब इन्हें स्वयं आजमाएं

#	सवाल	उत्तर
5	x का मान ज्ञात कीजिए: 4x + 9 = 21	एक्स = 3
6	x का मान ज्ञात कीजिए: 7x – 3 = 25	एक्स = 4
7	x का मान ज्ञात कीजिए: x/5 + 2 = 6	एक्स = 20
8	x का मान ज्ञात कीजिए: 3(x + 4) = 27	एक्स = 5
9	x का मान ज्ञात कीजिए: 2x + 3 = 3x – 4	एक्स = 7
10	x का मान ज्ञात कीजिए: 6x – 11 = 13	एक्स = 4
11	x का मान ज्ञात कीजिए: x/3 – 2 = 5	एक्स = 21
12	x का मान ज्ञात कीजिए: 9 – x = 4	एक्स = 5

विषय 2: ढलान और रैखिक समीकरण, "ऊंचाई बटे दौड़, आरंभ और गति" विधि के साथ (प्रश्न 13-24)

छात्र अक्सर y = mx + b समीकरण में यह भूल जाते हैं कि कौन सा नंबर क्या काम करता है। यह तरकीब इस उलझन को दूर कर देती है।

चाल: y = mx + b में, “b” को उस बिंदु के रूप में सोचें जहाँ आप शुरू करो ग्राफ पर (y-इंटरसेप्ट) और "m" से यह पता चलता है कि आप कितना चाल दाईं ओर प्रत्येक कदम (ढलान) के लिए। दो बिंदुओं के बीच ढलान ज्ञात करने के लिए, क्षैतिज परिवर्तन (दूरी) के भाग से ऊर्ध्वाधर परिवर्तन (ऊंचाई) को विभाजित करें।

प्रश्न 13: बिंदुओं (2, 3) और (6, 11) के बीच ढलान ज्ञात कीजिए।

चरण १: वृद्धि (y में परिवर्तन) ज्ञात कीजिए: 11 – 3 = 8

चरण १: x में परिवर्तन (रन) ज्ञात कीजिए: 6 – 2 = 4

चरण १: ऊपर की ओर दौड़ को नीचे की ओर दौड़ से भाग दें: 8 / 4

उत्तर: ढलान = 2

प्रश्न 14: ढलान 3 वाली उस रेखा का समीकरण लिखिए जो (0, 5) से शुरू होती है।

चरण १: “शुरू करें” आपको b, y-इंटरसेप्ट बताता है: b = 5

चरण १: “Move” आपको ढलान m बताता है: m = 3

चरण १: दोनों को y = mx + b में रखें।

उत्तर: y = 3x + 5

प्रश्न 15: रेखा 2x + 4y = 8 का ढलान ज्ञात कीजिए।

चरण १: y = mx + b के रूप में पुनर्व्यवस्थित करें। 2x को दूसरी तरफ ले जाएं (यह पलटकर -2x हो जाएगा)। 4y = -2x + 8

चरण १: प्रत्येक पद को 4 से भाग दें। y = -0.5x + 2

उत्तर: ढलान = -0.5

प्रश्न 16: क्या बिंदु (1, 2), (3, 6) और (5, 10) एक ही सीधी रेखा पर स्थित हैं?

चरण १: पहले दो बिंदुओं के बीच ढलान ज्ञात कीजिए: (6 – 2) / (3 – 1) = 4 / 2 = 2

चरण १: दूसरे दो बिंदुओं के बीच ढलान ज्ञात कीजिए: (10 – 6) / (5 – 3) = 4 / 2 = 2

चरण १: दोनों ढलानें मेल खाती हैं, इसलिए बिंदु समान गति से गति करते हैं।

उत्तर: जी हाँ, तीनों बिंदु एक ही रेखा पर स्थित हैं।

अब इन्हें स्वयं आजमाएं

#	सवाल	उत्तर
17	(0, 0) और (4, 8) के बीच ढलान ज्ञात कीजिए।	ढलान = 2
18	(0, 7) से शुरू होने वाले -2 ढलान वाले समीकरण को लिखिए।	वाई = -2x + 7
19	y = 4x – 9 का ढलान ज्ञात कीजिए।	ढलान = 4
20	y = -3x + 10 का y-अंशखंड ज्ञात कीजिए।	y-इंटरसेप्ट = 10
21	(-2, 5) और (2, 13) के बीच ढलान ज्ञात कीजिए।	ढलान = 2
22	क्या (2, 5) रेखा y = 2x + 1 पर स्थित है?	हाँ, क्योंकि 2(2)+1 = 5
23	यदि ढलान 5 वाली एक रेखा (1, 9) से होकर गुजरती है, तो b का मान ज्ञात कीजिए।	बी = 4
24	क्षैतिज रेखा y = 7 का ढलान ज्ञात कीजिए।	ढलान = 0

विषय 3: गुणा और जोड़ विधि से द्विघात समीकरणों का गुणनखंडन (प्रश्न 25-36)

जब तक आपके पास कोई निश्चित प्रणाली न हो, गुणनखंड करना अनुमान लगाने जैसा लगता है। यह प्रणाली लगभग हर सरल द्विघात समीकरण के लिए कारगर है।

चाल: x² + bx + c के लिए, ऐसी दो संख्याएँ ज्ञात कीजिए जिन्हें गुणा करने पर c प्राप्त हो और जिनका योग करने पर b प्राप्त हो। ये दोनों संख्याएँ सीधे कोष्ठक में लिखें।

प्रश्न 25: x² + 7x + 12 का गुणनखंड कीजिए।

चरण १: 12 के गुणनखंड युग्मों की सूची बनाएं: (1,12), (2,6), (3,4)

चरण १: वह युग्म ज्ञात कीजिए जिसका योग 7 हो: 3 और 4

चरण १: उन दो संख्याओं का उपयोग करके कोष्ठक लिखें।

उत्तर: (x + 3)(x + 4)

प्रश्न 26: x² – 5x + 6 = 0 को हल कीजिए।

चरण १: दो ऐसी संख्याएँ ज्ञात कीजिए जिनका गुणनफल 6 हो और योगफल -5 हो: -2 और -3

चरण १: गुणनखंडित रूप लिखिए। (x – 2)(x – 3) = 0

चरण १: प्रत्येक कोष्ठक को शून्य के बराबर रखें और हल करें।

उत्तर: x = 2 या x = 3

प्रश्न 27: x² – 9 का गुणनखंड कीजिए।

चरण १: इसे “वर्गों के अंतर” के पैटर्न के रूप में पहचानें: a² – b² = (a – b)(a + b)

चरण १: यहां, a = x और b = 3, क्योंकि 3² = 9.

उत्तर: (x – 3)(x + 3)

प्रश्न 28: द्विघात सूत्र का प्रयोग करके x² + 2x – 8 = 0 को हल कीजिए।

चरण १: a = 1, b = 2, c = -8 मानकर चलें, फिर x = (-b ± √(b² – 4ac)) / 2a का प्रयोग करें।

चरण १: विभेदक की गणना करें: b² – 4ac = 4 – 4(1)(-8) = 4 + 32 = 36

चरण १: 36 का वर्गमूल लें, जो कि 6 है, फिर इसे सूत्र में रखें। x = (-2 ± 6) / 2

उत्तर: x = 2 या x = -4

अब इन्हें स्वयं आजमाएं

#	सवाल	उत्तर
29	x² + 5x + 6 का गुणनखंड कीजिए	(एक्स + 2)(एक्स + 3)
30	x² – x – 6 का गुणनखंड करें	(x – 3)(x + 2)
31	x² – 16 = 0 को हल करें	x = 4 या x = -4
32	x² + 9x + 20 का गुणनखंड कीजिए	(एक्स + 4)(एक्स + 5)
33	x² + 3x – 10 = 0 को हल करें	x = 2 या x = -5
34	x² – 4x + 4 का गुणनखंड करें	(x – 2)²
35	समीकरण 2x² – 8 = 0 को हल करें	x = 2 या x = -2
36	x² – 25 का गुणनखंड करें	(x – 5)(x + 5)

विषय 4: समकोण त्रिकोणमिति और “तिहरे को पहचानें” युक्त युक्ति (प्रश्न 37-48)

त्रिकोणमिति की छवि खराब है, लेकिन एक बार जब आप जान जाते हैं कि क्या देखना है, तो इसमें बहुत कुछ पैटर्न को पहचानने पर आधारित होता है।

चाल: कुछ निश्चित संख्या समूह, जिन्हें पाइथागोरस त्रिक कहा जाता है, हमेशा एक समकोण त्रिभुज बनाते हैं: 3-4-5, 5-12-13, 8-15-17, और उनके गुणज (जैसे 6-8-10)। यदि आपको ऐसा कोई समूह दिखाई दे, तो आप पाइथागोरस प्रमेय की गणना को पूरी तरह से छोड़ सकते हैं।

प्रश्न 37: एक समकोण त्रिभुज की भुजाएँ 6 और 8 हैं। कर्ण ज्ञात कीजिए।

चरण १: ध्यान दें कि 6 और 8, 3 और 4 के दोगुने हैं, जो 3-4-5 के त्रिक का गुणज है।

चरण १: कर्ण 5 का दुगुना होना चाहिए।

उत्तर: कर्ण = 10

प्रश्न 38: कैलकुलेटर का उपयोग किए बिना sin(30°) ज्ञात कीजिए।

चरण १: विशेष त्रिभुज 30-60-90 को याद करें, जहाँ भुजाएँ हमेशा 1 : √3 : 2 के अनुपात में होती हैं।

चरण १: साइन विपरीत भुजा और कर्ण के अनुपात को कहते हैं। 30° के कोण के लिए, विपरीत भुजा 1 और कर्ण 2 होता है।

उत्तर: sin(30°) = 1/2

प्रश्न 39: एक सीढ़ी दीवार पर 12 मीटर ऊपर तक जाती है, जिसका आधार दीवार से 5 मीटर की दूरी पर है। सीढ़ी की लंबाई ज्ञात कीजिए।

चरण १: 5 और 12 को पाइथागोरस त्रिक के रूप में पहचानें: 5-12-13।

चरण १: लुप्त भुजा (सीढ़ी, जो कर्ण है) 13 है।

उत्तर: सीढ़ी की लंबाई = 13 मीटर

प्रश्न 40: कोण A ज्ञात कीजिए यदि tan(A) = 1

चरण १: विशेष कोणों को याद करें: tan(0°) = 0, tan(30°) ≈ 0.577, tan(45°) = 1, tan(60°) ≈ 1.73.

चरण १: tan(A) = 1 को उस विशेष कोण से मिलाएँ जहाँ यह सत्य हो।

उत्तर: A = 45°

अब इन्हें स्वयं आजमाएं

#	सवाल	उत्तर
41	एक समकोण त्रिभुज का कर्ण ज्ञात कीजिए जिसकी भुजाएँ 9 और 12 हैं।	15
42	cos(60°) ज्ञात कीजिए	0.5
43	एक समकोण त्रिभुज का कर्ण ज्ञात कीजिए जिसकी भुजाएँ 7 और 24 हैं।	25
44	sin(90°) ज्ञात कीजिए	1
45	tan(30°) ज्ञात कीजिए	≈ 0.577
46	एक समकोण त्रिभुज का कर्ण ज्ञात कीजिए जिसकी भुजाएँ 8 और 15 हैं।	17
47	cos(0°) ज्ञात कीजिए	1
48	यदि sin(A) = 0.5 हो तो कोण A ज्ञात कीजिए।	A = 30°

विषय 5: घातांक नियम और “गुणा करने पर जोड़, भाग देने पर घटाव” की तरकीब (प्रश्न 49-60)

घातांक के नियम याद करने के लिए एक लंबी सूची की तरह लगते हैं, लेकिन एक बार जब आप पैटर्न को समझ लेते हैं तो वे एक ही विचार में सिमट जाते हैं।

चाल: जब आधार समान हों, तो गुणा करने का अर्थ है घातांकों को जोड़ना, भाग देने का अर्थ है उन्हें घटाना, और एक घात को दूसरी घात से गुणा करना।

प्रश्न 49: (2³)(2⁴) को सरल कीजिए।

चरण १: आधार समान हैं (दोनों 2 हैं), और संक्रिया गुणन है, इसलिए घातांकों को जोड़ें। 2^(3+4) = 2^7

उत्तर: 128

प्रश्न 50: x⁵ / x² को सरल कीजिए।

चरण १: आधार मेल खाते हैं, और संक्रिया भाग है, इसलिए घातांक घटाएँ। x^(5-2)

उत्तर: x³

प्रश्न 51: (x³)² को सरल कीजिए।

चरण १: यह एक घात है जिसे दूसरी घात तक बढ़ाया गया है, इसलिए घातांकों को गुणा करें। x^(3×2)

उत्तर: x⁶

प्रश्न 52: x का मान ज्ञात कीजिए: 3^x = 81

चरण १: 81 को 3 की घात के रूप में लिखें: 81 = 3 × 3 × 3 × 3 = 3⁴

चरण १: चूंकि अब आधार समान हैं, इसलिए घातांक भी बराबर होने चाहिए।

उत्तर: x = 4

अब इन्हें स्वयं आजमाएं

#	सवाल	उत्तर
53	(5²)(5³) को सरल कीजिए	5⁵ = 3125
54	x⁷ / x³ को सरल कीजिए	x⁴
55	(2²)³ को सरल कीजिए	64
56	x का मान ज्ञात कीजिए: 2^x = 32	एक्स = 5
57	(3x²y)(4xy³) को सरल कीजिए।	12x³y⁴
58	x का मान ज्ञात कीजिए: 4^x = 64	एक्स = 3
59	x⁶ / x² को सरल कीजिए।	x⁴
60	(x⁴)² को सरल कीजिए	x⁸

विषय 6: लघुगणक और “लघुगणक तो बस एक प्रश्न पूछ रहा है” वाली तरकीब (प्रश्न 61-72)

लघुगणक छात्रों को मुख्य रूप से इसलिए भ्रमित करते हैं क्योंकि उनकी अभिव्यक्ति जटिल लगती है। हालांकि, इसके पीछे का सिद्धांत सरल है।

चाल: log_b(x) का सीधा सा मतलब है, "मुझे b की कितनी घात तक बढ़ाना चाहिए ताकि x प्राप्त हो?" कुछ भी करने से पहले, लॉग से संबंधित हर प्रश्न को इसी सरल अंग्रेजी वाले प्रश्न के रूप में लिखें।

प्रश्न 61: log₂(8) का मान ज्ञात कीजिए।

चरण १: यह प्रश्न पूछिए: 2 की कितनी घात 8 होती है?

चरण १: 2³ = 8, इसलिए घात 3 है।

उत्तर: 3

प्रश्न 62: log(x) = 2 को हल करें (जब आधार नहीं लिखा गया हो तो आधार 10 माना जाता है)

चरण १: यह प्रश्न पूछिए: 10 की किस घात से x प्राप्त होता है? घात 2 है।

चरण १: अतः x = 10²

उत्तर: x = 100

प्रश्न 63: log₃(x) = 2 को हल करें

चरण १: यह प्रश्न पूछिए: 3 की किस घात से x प्राप्त होता है? घात 2 है।

चरण १: अतः x = 3² = 9

उत्तर: x = 9

प्रश्न 64: log(100) + log(10) को सरल कीजिए।

चरण १: log(100) पूछता है: 10 की किस घात से 100 प्राप्त होता है? उत्तर: 2.

चरण १: log(10) पूछता है: 10 की किस घात से 10 प्राप्त होता है? उत्तर: 1.

चरण १: दोनों उत्तरों को एक साथ जोड़ें।

उत्तर: 3

अब इन्हें स्वयं आजमाएं

#	सवाल	उत्तर
65	log₅(25) का मूल्यांकन करें	2
66	log₂(16) का मूल्यांकन करें	4
67	log(1000) का मूल्यांकन करें	3
68	log₄(64) का मूल्यांकन करें	3
69	log₃(27) का मूल्यांकन करें	3
70	log(10000) का मूल्यांकन करें	4
71	log₂(1) का मूल्यांकन करें	0
72	log₇(49) का मूल्यांकन करें	2

विषय 7: "इसे नीचे लाओ, फिर एक घटाओ" वाली तरकीब के साथ व्युत्पन्न (प्रश्न 73-84)

कैलकुलस देखने में कागज पर डरावना लगता है, लेकिन आप जो पहला नियम सीखते हैं, वह लगभग सारा काम कर देता है।

चाल: f(x) = xⁿ के लिए, घातांक को गुणक के रूप में आगे लाएँ, फिर घातांक में से एक घटाएँ। कोई भी साधारण संख्या (एक स्थिरांक) अपने आप गायब हो जाती है, क्योंकि एक सपाट संख्या का कोई ढलान नहीं होता है।

प्रश्न 73: f(x) = x³ का अवकलन ज्ञात कीजिए।

चरण १: 3 को आगे लाएँ, फिर घातांक से एक घटाएँ। 3x^(3-1)

उत्तर: f'(x) = 3x²

प्रश्न 74: f(x) = 5x² + 3x का अवकलन ज्ञात कीजिए।

चरण १: प्रत्येक पद पर अलग-अलग यह युक्ति लागू करें। 5x² के लिए, 2 को नीचे लाएँ और उसे 5 से गुणा करें: 10x^(2-1)

चरण १: 3x (जो वास्तव में 3x¹ है) के लिए, 1 को नीचे लाएँ: 3x^(1-1) = 3x⁰ = 3

उत्तर: f'(x) = 10x + 3

प्रश्न 75: f(x) = x⁴ – 2x² + 7 का अवकलन ज्ञात कीजिए।

चरण १: इस तरकीब को x⁴ पर लागू करें: 4x³

चरण १: -2x² पर यही तरकीब लागू करें: -4x

चरण १: स्थिरांक 7 पूरी तरह से गायब हो जाता है, क्योंकि स्थिरांकों की कोई ढलान नहीं होती है।

उत्तर: f'(x) = 4x³ – 4x

प्रश्न 76: f(x) = 1/x का अवकलन ज्ञात कीजिए।

चरण १: 1/x को x⁻¹ के रूप में पुनः लिखें, ताकि यह तरकीब अभी भी लागू हो।

चरण १: -1 को नीचे लाएँ और घातांक से एक घटाएँ: -1x^(-1-1) = -1x⁻²

उत्तर: f'(x) = -1/x²

अब इन्हें स्वयं आजमाएं

#	सवाल	उत्तर
77	f(x) = x⁵ का अवकलन ज्ञात कीजिए।	f'(x) = 5x⁴
78	f(x) = 3x³ – 2x का अवकलन ज्ञात कीजिए।	f'(x) = 9x² – 2
79	f(x) = 7 का अवकलन ज्ञात कीजिए।	f'(x) = 0
80	f(x) = x² + 4x + 9 का अवकलन ज्ञात कीजिए।	f'(x) = 2x + 4
81	f(x) = 2x⁴ का अवकलन ज्ञात कीजिए।	f'(x) = 8x³
82	f(x) = x⁻² का अवकलन ज्ञात कीजिए।	f'(x) = -2x⁻³
83	f(x) = 6x का अवकलन ज्ञात कीजिए।	f'(x) = 6
84	f(x) = x³ + x² + x + 1 का अवकलन ज्ञात कीजिए।	f'(x) = 3x² + 2x + 1

विषय 8: माध्य, माध्यिका, बहुलक और प्रायिकता, "शेयर, लाइन अप, मोस्ट पॉपुलर" ट्रिक के साथ (प्रश्न 85-96)

सांख्यिकी के प्रश्न बीजगणित से भिन्न प्रतीत होते हैं, लेकिन प्रत्येक माप का एक सरल-अंग्रेजी में वर्णित कार्य होता है।

चाल: मतलब समान रूप से साझा करें सभी के बीच। माध्यिका का अर्थ है सबको कतार में खड़ा करो और मध्य बिंदु ज्ञात कीजिए। बहुलक का अर्थ है सबसे लोकप्रिय मूल्य। प्रायिकता का हमेशा अर्थ होता है अनुकूल परिणामों को कुल परिणामों से विभाजित किया गया.

प्रश्न 85: 4, 8, 6, 10 और 12 का माध्य ज्ञात कीजिए।

चरण १: सभी मानों को जोड़ें: 4 + 8 + 6 + 10 + 12 = 40

चरण १: जितने मान हैं, उससे भाग दें: 40 / 5

उत्तर: माध्य = 8

प्रश्न 86: 3, 7, 9, 12, 15 की माध्यिका ज्ञात कीजिए।

चरण १: मान पहले से ही क्रम में हैं, और उनकी संख्या 5 है (एक विषम संख्या)।

चरण १: तीसरा मान, यानी मध्य मान, माध्यिका कहलाता है।

उत्तर: माध्यिका = 9

प्रश्न 87: 8, 3, 10 और 6 की माध्यिका ज्ञात कीजिए।

चरण १: क्रम में व्यवस्थित करें: 3, 6, 8, 10. इसमें 4 मान हैं (एक सम संख्या)।

चरण १: मध्य के दो मानों का औसत निकालें: (6 + 8) / 2

उत्तर: माध्यिका = 7

प्रश्न 88: एक मानक छह-पक्षीय पासे पर 4 आने की प्रायिकता ज्ञात कीजिए।

चरण १: अनुकूल परिणामों की गणना करें: केवल एक पक्ष में 4 दिखाई दे रहा है।

चरण १: कुल परिणामों की गणना करें: कुल 6 पक्ष।

उत्तर: प्रायिकता = 1/6

अब इन्हें स्वयं आजमाएं

#	सवाल	उत्तर
89	2, 4, 6, 8, 10 का माध्य ज्ञात कीजिए।	6
90	1, 2, 3, 4, 5, 6 की माध्यिका ज्ञात कीजिए।	3.5
91	2, 3, 3, 5, 7, 3, 8 का बहुलक ज्ञात कीजिए।	3
92	एक निष्पक्ष सिक्के पर हेड आने की प्रायिकता ज्ञात कीजिए।	1/2
93	10, 20 और 30 का माध्य ज्ञात कीजिए।	20
94	5, 9, 2, 8, 1 का माध्यिका ज्ञात कीजिए।	5
95	एक मानक डेक से इक्का निकालने की प्रायिकता ज्ञात कीजिए।	1/13
96	100, 200, 300 और 400 का माध्य ज्ञात कीजिए।	250

बोनस राउंड: विभिन्न तरकीबों को मिलाकर प्रयोग करना (प्रश्न 97-100)

वास्तविक परीक्षाओं में शायद ही कभी एक ही विषय पर प्रश्न पूछे जाते हैं। ये अंतिम कुछ प्रश्न दो अलग-अलग तरीकों का इस्तेमाल करते हैं, और यही वह कौशल है जो एक अच्छे परीक्षा स्कोर को औसत स्कोर से अलग करता है।

प्रश्न 97: x के लिए 2(x + 3)² = 32 को हल करें।

चरण १: “मूव एंड फ्लिप” विधि का उपयोग करके 2 को दूसरी तरफ ले जाएं। यह भाग बन जाता है। (x + 3)² = 16

चरण १: दोनों पक्षों का वर्गमूल लें। धनात्मक और ऋणात्मक दोनों वर्गमूलों को ध्यान में रखें। x + 3 = ±4

चरण १: दोनों स्थितियों को अलग-अलग हल करें: x + 3 = 4 से x = 1 प्राप्त होता है, और x + 3 = -4 से x = -7 प्राप्त होता है।

उत्तर: x = 1 या x = -7

प्रश्न 98: x² – 2x – 15 = 0 का गुणनखंड कीजिए और हल कीजिए।

चरण १: दो ऐसी संख्याएँ ज्ञात कीजिए जिनका गुणनफल -15 हो और जिनका योग -2 हो: -5 और 3।

चरण १: गुणनखंडित रूप लिखें और प्रत्येक कोष्ठक को हल करें। (x – 5)(x + 3) = 0

उत्तर: x = 5 या x = -3

अब इन्हें स्वयं आजमाएं

#	सवाल	उत्तर
99	3x + y = 9 का ढलान और y-अंतःखंड ज्ञात कीजिए।	ढलान = -3, y-अवरोधन = 9
100	दो पासों से 7 का योग आने की प्रायिकता ज्ञात कीजिए।	1/6 (36 में से 6 अनुकूल परिणाम)

चरणों को याद करने की तुलना में तरकीबें क्यों बेहतर काम करती हैं?

एक युक्ति इसलिए कारगर होती है क्योंकि यह आपको दस अलग-अलग चरणों के बजाय एक ही विचार को याद रखने में मदद करती है। स्टैनफोर्ड की शिक्षा शोधकर्ता जो बोएलर के गणितीय मानसिकता पर किए गए शोध में पाया गया कि जो छात्र किसी शॉर्टकट के पीछे के तर्क को समझते हैं, वे उसे उन छात्रों की तुलना में कहीं अधिक समय तक याद रख पाते हैं जो किसी प्रक्रिया को यह जाने बिना याद कर लेते हैं कि वह कैसे काम करती है।

एक ऐसी गलती जिससे बचना चाहिए: किसी तरकीब को बिना यह समझे इस्तेमाल करना कि वह कैसे काम करती है। अगर आप सिर्फ "गुणा करने पर घातांक जुड़ जाते हैं" याद कर लें और यह न जानें कि यह बार-बार गुणा करने से आता है, तो जैसे ही सवाल थोड़ा अलग दिखेगा, आप उसे भूल जाएंगे।

आम गलतियाँ जो छात्र तब भी करते हैं जब उन्हें तरकीब पता होती है

• किसी वर्ग से संबंधित समीकरण को हल करते समय ऋणात्मक मूल को भूल जाना, जैसे कि x + 3 = ±4, जबकि वास्तव में +4 होना चाहिए।
• किसी ऐसे प्रश्न पर कोई तरकीब लागू करना जिसके लिए वह बनी ही नहीं थी, जैसे कि किसी त्रिपद पर वर्गों के अंतर के पैटर्न का उपयोग करना जो उस पर लागू नहीं होता।
• किसी ट्रिक के "क्यों" को नजरअंदाज कर केवल "क्या" को याद करना, जो किसी अपरिचित प्रश्न पर विफल हो जाता है।
• जब किसी प्रश्न में विशेष रूप से "मध्य" मान पूछा गया हो तो माध्य और माध्यिका को आपस में मिला देना।
• यह भूल जाना कि अवकलन ज्ञात करते समय एक स्थिरांक गायब हो जाता है, और गलती से उसे उत्तर में छोड़ देना।

निष्कर्ष

गणित से नफरत करना छोड़ने का सबसे तेज़ तरीका है हर सवाल को नया समझना बंद कर देना। 100 अलग-अलग दिखने वाले सवालों के पीछे सिर्फ 8 मुख्य अवधारणाएँ छिपी होती हैं, और एक बार कोई तरकीब समझ में आ जाए, तो सवालों की पूरी श्रेणियाँ एक साथ आसान हो जाती हैं। यहाँ दिए गए किसी भी भाग को दोबारा देखें जहाँ आपने 2 से ज़्यादा अभ्यास प्रश्न गलत किए हों, और आगे बढ़ने से पहले हाइलाइट किए गए उदाहरणों को फिर से हल करें।

यदि आपके बच्चे को इन युक्तियों को लगातार परीक्षा परिणामों में बदलने के लिए व्यक्तिगत सहायता की आवश्यकता है, तो यूएससीए अकादमी आपके लिए उपयुक्त विकल्प है। मिसिसॉगा में क्रेडिट पाठ्यक्रम इन सभी विषयों को कवर करें ग्रेड 9 पूज्य गुरुदेव के मार्गदर्शन से संपन्न कर सकते हैं - ग्रेड 12छोटी-छोटी कक्षाओं के साथ, जो बिल्कुल इसी तरह की तरकीब-आधारित शिक्षण पद्धति पर आधारित हैं। प्रवेश के लिए आवेदन करें सही पाठ्यक्रम स्तर से मिलान करने के लिए।

अक्सर पूछे जाने वाले प्रश्न